大学高等数学学习方法的策略

大学高等数学学习方法的策略当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理时侯……，如果能通过连续的不间断的思考活动，把几个定理贯穿起来，捂出它们之间的相互关系，并能同时尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是很有益的。照这样我们的知识无疑地会增加，理解能力会有显著的提高。——笛卡儿数学是我们认识世界和改造世界的工具，它来源于实践，又由于自身的矛盾运动而向上发展，并具有高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性等三大特点。高等数学是理工科院校各专业的基础理论课，它在生产实践和各专业领域中都有广泛应用。因此学好这门课程是具有十分重要的意义，但是，在学习和总结这门课程的时候，往往有如下的现象发生：一是感到内容多、头绪乱，无从下手；二是学后忘前，遗忘率高；三是概念、法则等发生混淆或运用时忽略前提条件等等。产生这种现象的主要原因之一是对这门课程的基础知识还没有全面、深入、系统地掌握；对概念、方法、理论的实质还没有真正的认识；对它的理论结构与层次还没有揭示出来。要杜绝上述现象最重要的是养成分析知识系统的习惯，掌握分析知识系统的方法。那么，在开始学习《高等数学》的时候，如果能对它的内容和方法有一个概括的轮廓，明确目的要求，将会找到正确的学习途径去步步攀登。1．《高等数学》的主要内容和基本要求高等数学课程包括的知识体系大体上可分为四部分1.1一元微积分学习这部分内容分为三个阶段。第一阶段包括函数、极限与连续。其特点是概念性强；第二阶段是导数与微分；第三阶段是积分、微分方程初步，其特点是计算方法多。因此，在这一部分首先要搞清概念、学会计算，其次是领悟推理方法，并做一些应用的练习。我们在掌握有关知识的同时，注意培养和锻炼自己科学的学习能力。1.2空间解析几何初步学习空间解析几何初步是为了学习以后的内容而引入的知识。它的特点是数形结合，学习时要努力提高空间想象能力。1.3多元微积分它包括多元函数微积分学、重积分、线积分、面积分等。它既与一元微积分有很多的相似点，又有自己的特殊点。我们学习时要注重观点、概念、计算、应用的结合。1.4无穷级数它是极限的深入，随着知识面的扩大，我们要注意培养自己科学的探讨研究能力，善于应用数学工具解决实际问题。2．《高等数学》的特点高等数学是变量的数学，它是研究运动、研究无限过程、研究高维空间、研究多因素的作用。从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。要想学习好《高等数学》，必须搞清《高等数学》的特点。2.1常量与变量高等数学能深刻体现“常”和“变”互相转化的观点。例如在求曲线的弧长，先视“常”为“变”（把弧长看成折线长的极限），再通过“变”（极限过程）达到“常”（求得弧的确定长度）。这是初等数学办不到的。2.２直与曲高等数学把直线和平面作为曲线和曲面的特例，并认为在一定条件下“直”与“曲”可以互相转化。例如，利用弧微分“以直代曲”，通过积分又把“直转化为曲”。2.３有限与无限运用分析运算（无限运算）——极限，这是高等数学的重要特点，而初等数学只能进行有限次运算，有限与无限通过极限方法实现互相转化。例如函数展成无穷级数。2.４特殊与一般从初等数学到高等数学意味着从特殊到一般的过渡。2.５具体与抽象抽象性是数学的本质特征之一，高等数学更加抽象，结果更加深刻。3．高等数学总体上的知识系统3.1知识概况高等数学研究的对象是函数，我们要考虑函数的内涵，还要考察函数的外延。横向所谓函数的内涵，即横的方向；所谓函数的外延，即纵的方向。从纵的方向看：知识间具有内在联系，多元函数的研究要以一元函数的研究结果为基础；级数与微分方程的研究则要以极限、微分和积分的概念和运算做基础；知识间具有一定的继承和积累关系。从横的方向看，对于函数内涵的研究方法是极限方法，即用极限方法做为贯穿性的主线去研究函数的若干性态以及局部变化状态和整体变化状态，相应地分为极限论、微分学、积分学等部分。3.2知识系统的总结方式知识系统的总结方式主要有两种：一是以横向为主，贯穿纵向联系的方式；二是以纵向为主，贯穿横向联系方式。总结出的知识系统方法多种多样，必须具有内容完备、重点突出、结构清晰、便于记忆和理解与运用。4．掌握知识系统的必要性十七世纪后半期与十八世纪前半期，整个数学发生了全面地、深刻地变化，数学对象产连续性可微性可积性导数微分方向导数全（偏）导数偏微分全微分不定积分积分曲线积分二重积分曲面积分三重积分一元函数多元函数级数与微分方程函数纵向生了根本性的扩展。首先，在1637年由笛卡儿（Descartes·R.）创立了解析几何学，它构成了高等数学的基础部分。在此基础上牛顿(Newton·I.)于1665年——1666年，莱布尼兹(Leibniz·G·W.)于1682年——1686年分别从研究物理学的瞬时速度和几何学的切线斜率的问题出发，彼此独立地创立了微积分学。随后又产生了数学分析的其它部分，如级数与微分方程等。到了十九世纪，法国数学家柯西(Cauchy·A·L.)于1821年出版了它的《分析教程》，开始用极限来定义导数与积分。到1856年德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass·K.)进一步用数学符号—来表达柯西的极限概念，这就是高等数学中所采用的极限定义的历史来源。此外，数学家波尔察诺(Bolzano·B.)等对高等数学的奠基性工作也做出了贡献。高等数学就是这样向着更精确、更完备的方向发展，以至到了现代高等数学的发展阶段。这样漫长的经历，给高等数学带来了两个显著特征或直接结果：一是内容相当丰富；二是理论体系中结构复杂、层次繁多。面临这样两个特征，我们必须掌握高等数学的知识系统；或者说，掌握知识系统是高等数学这门学科历史发展状况的需要，是由这门学科的性质所决定的。高等数学的内容十分丰富，这就要求学习的时候不能机械地重复前人的认识，而要用教短的时间，恰当的方法获得思想上的“飞跃”。即要求不能简单地停留在书本上的学习，而要用教高的观点，系统、全面和有重点地去掌握其基本理论；要融会贯通、记忆深刻、综合运用。要做到这一点，不深入到它的理论体系内部，不掌握它的知识系统是根本不可能的。高等数学理论体系具有多层次结构的特征。任何一个数学系统都有其内在层次与外在层次的区别。所谓外在层次，指的是形式的、表面的、局部性的数量关系及其联系，如概念的形式定义、定理所遵循的形式逻辑的证明等等。此外，在高等数学的理论体系内部，内在关系也相当丰富，结构复杂、层次重迭。这里表现出的是实质性的、内在的整体性的数量关系及其联系，称之为内在层次。在其内在层次中，由于理论的展开是由简单到复杂，由个别到一般，由基础性概念到抽象性更高的一般性概念的一环套一环地发展着的，所以又表现出多层次结构的特征。这样一种固有的多层次结构，只有在对其知识系统的挖掘与刨析中才能看清，才能更好地找到学习的方法。通过以上的分析可以看出，掌握知识系统是十分必要的，并且在高等数学这门学科的学习方法中占有重要的地位。5．学习《高等数学》的方法学习是知识的积累、加工和运用，学习高等数学一般要经过初学——精学——实践三个不同的阶段。初学阶段是基础阶段，在这个阶段里，主要是通过教学（自学）获得片断的、零散的知识，要将高等数学各节中的基本概念、定理内容及其论证，例题、习题一点点搞懂，在理解的基础上加以记忆。精学阶段是复习、整理、加工阶段，分析、总结是这个阶段的重要任务。它是初学阶段的升华，要掌握知识的关键是要揭示理论结构与内在层次，学会用语言直接阐述，了解每一部分内容在整体中的地位和作用；抓住实质与内在的联系；并从丰富的内容中，理出它们之间的联系，只有这样才能真正掌握知识，形成牢固的记忆，培养技能与技巧。实践阶段主要是指通过学习后的科研与应用实践，是学习过程的后续，是再学习、再认识的阶段。在精学阶段中的好坏将直接影响到本阶段的工作效果。在应用高等数学的知识解决实际问题的过程中，要想形成解决的思路，就必须不断地加深和发展固有的认识，必须深入到新的层次结构中去；要想综合运用相应的知识去解决某个领域中的问题，从基础知识的角度论，就必须掌握在其理论体系中各部分知识间的内在联系，并在广泛的联系中加深对知识的理解与运用。从方法上提倡浏览——研读——复述——温习的学习方法，真正把高等数学学习到手，关键是狠抓基本理论和基本技能，对于高等数学学习的具体方法是5.1如何接收信息大学课堂教学进度快、内容多，应该先预习，边看书边动手演算推导，看看自己哪些懂了哪些不懂，知己知彼，带着问题有目的地听课，适当作些笔记，简要记下重点、关键、思路、补充材料和自己的体会。5.2如何消化材料依靠头脑这个加工厂改造制作，温故知新，由此及彼，由表及里。要经历一个把书本由薄变厚（发挥），再由厚变薄（归纳）的过程，这是要下苦功夫的。（１）掌握基本概念数学讲究逻辑思维，而逻辑思维无非是（在感性认识的基础上）抽象出概念，运用概念进行判断、作出推理。所以，概念是思维的基本元素，数学水平的高低在很大程度上取决于对数学概念理解的深度。这一点往往为初学者所忽视。由于数学概念比普通概念更抽象。而我们又是从书本上接受这些概念，缺乏直接经验，这种先天不足更待后天弥补。学习数学概念一定得反复揣摩，如极限概念，先要有朴素的领悟（趋近），再到严格的叙述（“N”、“”语言），才能逐步确切理解。（２）善用数学语言普通思维靠词语，数学思维靠符号语言，它简明准确、自成体系。高等数学符号繁多，含意丰富深刻。我们对两种语言必须能互译、运用自如。很多数学语言是以“构件”形式反复出现的，如运算符号、演算公式，以及程式化的论证（如数学归纳法）、模式化的陈述（如“”语言、“充要条件”）、格式化的列表（如函数作图时按一定程序制表）等等。用时要熟练地“装配”起来。（3）搞清来龙去脉要将知识系统化，由点到线到面，就要串成链，织成网。具体做法如下①理脉络如极限方法贯穿于微积分的始终，其它主要概念（如导数、积分等）的建立；主要问题的解决都依赖于它，这条线索要理清楚。②奠基石如重要极限xxx10)1(lim的存在问题是微积分的基石之一，可仔细体味。③建台阶如定积分、重积分、曲线、曲面积分等，都是和式的极限，但又层层深入和提高。④树大梁如向量方法在空间解析几何中是主干，由它导出直线、平面等一系列公式和性质。⑤作比较如函数的连续性，在开区间和闭区间上的结论就不同。⑥会拓广如空间解析几何是平面解析几何的拓广，多元函数微积分是一元函数微积分的拓广，要论清在哪些地方是怎样拓广的⑦把握特例如罗尔定理、拉格朗日中值定理，都是泰勒公式的特例。⑧形成知识链如微分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式、积分中值定理等。可形成一串，成为微积分的基本定理。另为在闭区间上函数可微→连续→可积→有界的知识链，反之则不成立。⑨学会归纳和举反例如导数的应用，名目繁多，在函数作图中将各类应用集中起来；如连续不一定可微，举一反例就能说明⑩织成知识网如微分学与解析几何的某些结合，产生书中介绍的几何初步知识（曲率、切线、切平面、法线、法平面等）。凡此种种，方法多样，要灵活运用。（４）几何直观是领悟数学最有效的渠道之一，要善于寻找各种概念的解释。以上各项，都要靠仔细解刨书本，抓要害、求甚解。再用自己熟悉的数学语言归纳整理，使知识系统化、条理化，了如指掌。5.３所学知识如何运用（１）解题适当多做习题，不但提高了解题能力，而且加深了对知识的理解。要注意积累解题途径经验，及时加以总结。具体过程如下①抓题型分清题目的类型，就能以少胜多，成片地获取知识。如常微分方程按型求解。②找方法如积分最常用的方法是换元法和分部，还有很多特殊技巧。③掌握步骤如求最大（小）值的应用题，须经哪几步才能得到结果，予以总结。④寻规律如导数是构造性定义的（分三步：求增量、算比值、取极限），决定了求导数可以“机械化”，这是一般规律；而不定积分是非构造性定义的，作为导数的逆运算，无一般规律可循。但一般中又有特殊，比如何时用法则求导、取对数求导、利用隐函数求导、利用微分形式不变性求导，都有特殊规律。又如定积分也是构造性定义的，但极限过程中有两个“无关”（与分割无关、与中间点取法无关），按定义