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2019年重庆一中高2020级高三上期第二次月考数学（理科）试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.设集合A={1,2,3}，B={𝑥|𝑥2−4𝑚𝑥+3𝑚2=0}，若𝐴∩𝐵={1},则集合B=（）A.{1,3}B.{13,3}C.{1,−3}D.{1,13}2.函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥的零点所在的一个区间为（）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(0,1)D.(1,2)3.已知向量𝒂=(3,1),𝟐𝒂+𝒃=(5,3),则|𝒃|=（）A.1B.2C.0D.√24.中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按照以上顺序依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（）A.200B.300C.5003D.4005.实数𝑎=30.4,𝑏=log318,𝑐=log550的大小关系为（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑎𝑐𝑏D.𝑐𝑏𝑎6.已知非零向量𝒂,𝒃,𝒄,满足𝒂+𝒃+𝒄=𝟎，𝒂,𝒃的夹角为120°，且|𝒃|=2|𝒂|，则向量𝒂,𝒄的数量积为（）A.0B.−2𝒂2C.−2𝒂2D.−𝒂27.等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且3𝑎2，2𝑎3，𝑎4成等差数列，则𝑆3𝑎3=（）A.139B.3或139C.3D.139或798.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，已知𝑐cos𝐴=12(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴)，△ABC的面积为√3，𝑏+𝑐=2√6，则△ABC的外接圆面积为（）A.4𝜋B.16𝜋C.24𝜋D.48𝜋9.在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝑦=𝑥2+𝑥−2与𝑥轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1），则过A,B,C三点的圆截𝑦轴所得的弦长为（）A.3B.2C.32D.110.如图，在所有棱长均为2的直三棱柱ABC—A1B1C1中，D,E分别为BB1,A1C1的中点，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为（）A.12B.√32C.15D.4511.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3√3，-3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω0，|φ|𝜋2）．则下列叙述错误的是（）A.R=6，ω=𝜋30，φ=−𝜋6B.当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C.当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减D.当t=20时，|PA|=6√312.已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)的图像关于𝑥=𝑎（𝑎＞0）对称，且当x≥𝑎时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑒2𝑎，过点P(𝑎,0)作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的两条切线.若这两条切线相互垂直，则函数𝑓(𝑥)的最小值为（）A.𝑒−12B.𝑒−1C.𝑒−32D.𝑒−2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的体积为.14.已知向量𝒂=(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝟏𝟐,√3),𝒃=(𝑐𝑜𝑠𝜃,1),𝜃∈(−𝜋2,0)，且𝒂∥𝒃，则𝑐𝑜𝑠𝜃=.15.设锐角△ABD的内角A,B,C所对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,且𝑎=1，B=2A，则b的取值范围为.16.数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑇𝑛，满足𝑎1=2，3𝑆𝑛=(𝑛+𝑚)𝑎𝑛，(𝑛∈𝑁∗,𝑚∈𝑅)，且𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑛+1.所对任意𝑛∈𝑁∗，𝜆≤𝑇2𝑛−𝑇𝑛恒成立，则实数𝜆的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.（一）必考题：共60分17.（12分）设数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑎1=2，且𝑆𝑛+1=2𝑆𝑛(𝑛∈𝑁∗).（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设𝑏𝑛=log2𝑆𝑛，求数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前n项和𝑇𝑛.18.（12分）如图，在△ABC中，B=𝜋3，BC=2.（1）若AC=√7，求AB的长；（2）若AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE=√62，求角A的大小.19.（12分）某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天。两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每天卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超过30件（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元.经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图（茎为十位数字，叶为个位数字）：甲乙9999882899110030011111（1）现从甲商家试销的10天中随机抽取两天，求这两天的销售量都小于30件的概率；（2）根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答一下问题：①记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的数学期望考虑，请利用所学的统计学知识为超市做出选择，并说明理由.20.（12分）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A,B，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与A，B重合）与A，B连线的斜率乘积均为−34.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点F1的直线𝑙1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线𝑙2与椭圆C交于P,Q两点，且𝑙1∥𝑙2，试问：四边形MNPQ可否为菱形？并请说明理由.21.（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+(1−2𝑎)𝑥−ln𝑥(𝑎∈𝑅).（1）若𝑓(𝑥)在𝑥=1处取极小值，求实数𝑎的取值范围；（2）若𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(,𝑦2),𝐶(𝑥0,𝑦0)是函数𝑓(𝑥)图像上不同的三点，且𝑥0=𝑥1+𝑥22，试判断𝑓`(𝑥0)与𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1之间的大小关系，并证明.（二）选考题：共10分，请考生再22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=2+2𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼为参数)，以坐标原点为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设A，B为曲线C上不同两点（均不与O重合），且满足∠AOB=𝜋4，求△OAB的最大面积.23.选修4-5：不等式选讲已知𝑎,𝑏,𝑐为正实数.（1）求证：(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)≥8𝑎𝑏𝑐；（2）求𝑧=log2(𝑎+𝑏)+log2(𝑏+𝑐)+log2(𝑐+𝑎)−log2𝑎−log2𝑏−log2𝑐的最小值.2019年重庆一中高2020级高三上期第二次月考试题答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.B9.A10.C11.C12.B二、填空题13.12π14.√3+√15815.（√2，√3）16.12三、解答题17.解:（1）𝑆𝑛+1=2𝑆𝑛，可知𝑆𝑛是以2为首项，公比为2的等比数列.𝑆𝑛=2×2𝑛−1=2𝑛.当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=2当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛−2𝑛−1=2𝑛−1故𝑎𝑛={2，𝑛=12𝑛−1，𝑛≥2（2）𝑏𝑛=log2𝑆𝑛=𝑛，1𝑏𝑛𝑏𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1故𝑇𝑛=1−12+12−13+13−14+∙∙∙+1𝑛−1𝑛+1=𝑛𝑛+1.18.解：（1）在△ABC中，由余弦定理得cos𝐵=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−𝐴𝐶22𝐴𝐵∙𝐵𝐶=12，代入数据解得：AB=3（2）连接DC，由题意设∠A=∠DCA=𝜃，在Rt△DCE中，DC=𝐷𝐸sin𝜃=√62sin𝜃在△BCD中，∠BCD=2𝜃，由正弦定理得𝐷𝐶sin𝐵=𝐵𝐶sin2𝜃，即√62sin𝜃sin60°=2sin2𝜃解得：cos𝜃=√22，𝜃=45°，所以，∠A=45°.19.解：（1）记抽取两天的销售量都小于30件为事件A，故P(A)=𝐶62𝐶102=13（2）①设乙商家的日销售量为𝑎，则当𝑎=28时，X=28×5=140；当𝑎=29时，X=29×5=145当𝑎=30时，X=30×5=150；当𝑎=31时，X=30×5+10=160所以X的所有可能取值为：140，145，150，160X的分布列为X140145150160P110151512数学期望EX=140×110+145×15+150×15+160×12=153②甲每日平均销量为：28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.2=29.4件甲商家平均日返利额为：60+3×29.4=148.2元由①知乙商家日返利额数学期望为153＞148.2故超市应该选择乙商家.20.解：（1）设椭圆上顶点坐标为D（0，b）由题意得𝑎=2，𝑘𝐴𝐷∙𝑘𝐵𝐷=𝑏2∙𝑏−2=𝑏2−4=−34故𝑏2=3，椭圆C标准方程为：𝑥24+𝑦23=1（2）由题意可设M（𝑥1，𝑦1），N（𝑥2，𝑦2），P（−𝑥1，−𝑦1），Q（−𝑥2，−𝑦2）①当𝑙1、𝑙2垂直于𝑥轴时，|MN|=2𝑏2𝑎=3，|MQ|=2c=2，|MN|≠|MQ|，故不成立②设𝑙1：𝑦=𝑘𝑥+𝑘，已知椭圆C：𝑥24+𝑦23=1，联立得：(4𝑘2+3)𝑥2+8𝑘2𝑥+4𝑘2−12=0𝑥1+𝑥2=−8𝑘24𝑘2+3，𝑥1𝑥2=4𝑘2−124𝑘2+3𝑦1𝑦2=𝑘2(𝑥1𝑥2+(𝑥1+𝑥2)+1)=−9𝑘24𝑘2+3平行四边形MNPQ的对角线：𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2𝑥1，2𝑦1),𝑄𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2𝑥2，2𝑦2)𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑄𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑥1𝑥2+4𝑦1𝑦2=16𝑘2−484𝑘2+3+−36𝑘24𝑘2+3=−20𝑘2−484𝑘2+3≠0，所以不为菱形综上：四边形MNPQ不可能为菱形.21.解：（1）𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+(1−2𝑎)𝑥−ln𝑥，（𝑥＞0）𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+1−2𝑎−1𝑥=2𝑎𝑥2+(1−2𝑎)𝑥−1𝑥𝑓(𝑥)在𝑥=1处取极小值①当𝑎=0时，𝑓′(𝑥)=𝑥−1𝑥，满足条件②当𝑎≠0时，𝑓′(𝑥)=(2𝑎𝑥+1)(𝑥−1)𝑥，当𝑎＞0时，令𝑓′(𝑥)=0得：𝑥1=1，𝑥2=−12𝑎(舍)，满足条件当𝑎＜0时，要使𝑓(𝑥)在𝑥=1处取极小值，则1＜−12𝑎，解得：−12𝑎0综上：𝑎∈(−12，+∞)（2）𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+1−2𝑎−1𝑥，𝑓′(𝑥0)=𝑎(𝑥1+𝑥2)+1−2𝑎−2𝑥1+𝑥2.𝑦1−𝑦2=𝑎𝑥12+(1−2𝑎)𝑥1−ln𝑥1−𝑎𝑥22−(1−2𝑎)𝑥2+ln𝑥2=𝑎(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)+(1−2𝑎)(𝑥1−𝑥2)+ln𝑥2𝑥1∴𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=𝑎(𝑥1+𝑥2)+1−2𝑎+ln𝑥2𝑥1𝑥1−𝑥2𝑓′(𝑥0)−𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=−2𝑥1+𝑥2−ln𝑥2𝑥1�