中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第1页共70页自动控制原理习题及其解答第一章(略)第二章例2-1弹簧,阻尼器串并联系统如图2-1示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。解:(1)设输入为yr,输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2)列写原始方程式,由于无质量按受力平衡方程,各处任何时刻,均满足0F,则对于A点有021KKfFFF其中,Ff为阻尼摩擦力,FK1,FK2为弹性恢复力。(3)写中间变量关系式0220110)()(yKFYYKFdtyydfFKrKrf(4)消中间变量得020110yKyKyKdtdyfdtdyfrr(5)化标准形rrKydtdyTydtdyT00其中:215KKT为时间常数,单位[秒]。211KKKK为传递函数,无量纲。例2-2已知单摆系统的运动如图2-2示。(1)写出运动方程式(2)求取线性化方程解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角,摆球质量为m。(2)由牛顿定律写原始方程。中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第2页共70页hmgdtdlmsin)(22其中,l为摆长,l为运动弧长,h为空气阻力。(3)写中间变量关系式)(dtdlh式中,α为空气阻力系数dtdl为运动线速度。(4)消中间变量得运动方程式0sin22mgdtdaldtdml(2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化由前可知,在=0的附近,非线性函数sin≈,故代入式(2-1)可得线性化方程为022mgdtdaldtdml例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示,试列出系统运动方程。解:(1)设输入量作用力矩Mf,输出为旋转角速度。(2)列写运动方程式fMfdtdJ式中,f为阻尼力矩,其大小与转速成正比。(3)整理成标准形为fMfdtdJ此为一阶线性微分方程,若输出变量改为,则由于dtd代入方程得二阶线性微分方程式fMdtdfdtdJ22例2-4设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。图2-2单摆运动图2-3机械旋转系统中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第3页共70页倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒,这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解:(1)设输入为作用力u,输出为摆角。(2)写原始方程式,设摆杆重心A的坐标为(XA,yA)于是XA=X+lsinXy=lcos画出系统隔离体受力图如图2-5所示。摆杆围绕重心A点转动方程为:cossin22HlVldtdJ(2-2)图2-4倒立摆系统图2-5隔离体受力图中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第4页共70页式中,J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿X轴方向运动方程为:HdtxdmA22即Hlxdtdm)sin(22(2-3)摆杆重心A沿y轴方向运动方程为:mgVdtydmA22即mgVldtdm)cos(22小车沿x轴方向运动方程为:HudtxdM22方程(2-2),方程(2-3)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin和cos项,所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当很小时,可对方程组线性化,由sin≈,同理可得到cos≈1则方程式(2-2)式(2-3)可用线性化方程表示为:HudtxdMmgVHdtdmldtxdmHlVldtdJ222222220用222dtdS的算子符号将以上方程组写成代数形式,消掉中间变量V、H、X得ugmMsJmlmMMl)()(2将微分算子还原后得udtdgmMdtdlJmlMJMl)()(22此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5RC无源网络电路图如图2-6所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第5页共70页解:在线性电路的计算中,引入了复阻抗的概念,则电压、电流、复阻抗之间的关系,满足广义的欧姆定律。即:)()()(sZsIsU如果二端元件是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别是R、1/Cs或Ls。(1)用复阻抗写电路方程式:sCSISVRSUSUSIsCSISISURSUSUSIccccCr222221212111111)()(1)]()([)(1)]()([)(1)]()([)((2)将以上四式用方框图表示,并相互连接即得RC网络结构图,见图2-6(a)。(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图2-6(c)、(d)、(e)。(4)用梅逊公式直接由图2-6(b)写出传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-6RC无源网络图2-6RC无源网络结构图(a)(b)(c)(d)中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第6页共70页KGGK独立回路有三个:SCRSCRL1111111SCRSCRL22222111SCRRSCL12213111回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则2221121121SCRCRLLL由上式可写出特征式为:222111222112132111111)(1SCRCRSCRSCRSCRLLLLL通向前路只有一条221212211111111SCCRRSCRSCRG由于G1与所有回路L1,L2,L3都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为Δ1=1代入梅逊公式得传递函数1)(111111121221122121222111222112221111sCRCRCRsCCRRsCRCRsCRsCRsCRsCRCRGG例2-6有源网络如图2-7所示,试用复阻抗法求网络传递函数,并根据求得的结果,直接用于图2-8所示PI调节器,写出传递函数。解:图2-7中Zi和Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗,假设A点图2-8PI调节器图2-7有源网络中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第7页共70页为虚地,即UA≈0,运算放大器输入阻抗很大,可略去输入电流,于是:I1=I2则有:)()()()()()(21sZsIsUsZsIsUfcii故传递函数为)()()()()(sZsZsUsUsGific(2-4)对于由运算放大器构成的调节器,式(2-4)可看作计算传递函数的一般公式,对于图2-8所示PI调节器,有1)(RsZiCSRsZf1)(2故CSRCSRRCSRsZsZsGif121211)()()(例2-7求下列微分方程的时域解x(t)。已知3)0(,0)0(xx。06322xdtdxdtxd解:对方程两端取拉氏变换为:0)(6)0(3)(3)0()0()(2sXxsSXxSxsXS代入初始条件得到3)()63(2sXSS解出X(s)为:222)215()5.1(215532633)(SSSsX反变换得时域解为:)215sin(532)(5.1tetxt中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第8页共70页例2-8已知系统结构图如图2-9所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。解:(1)首先将含有G2的前向通路上的分支点前移,移到下面的回环之外。如图2-10(a)所示。(2)将反馈环和并连部分用代数方法化简,得图2-10(b)。(3)最后将两个方框串联相乘得图2-10(c)。例2-9已知系统结构图如图2-11所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。解:(1)将两条前馈通路分开,改画成图2-12(a)的形式。(2)将小前馈并联支路相加,得图2-12(b)。(3)先用串联公式,再用并联公式将支路化简为图2-12(c)。图2-10系统结构图的简化图2-9系统结构图图2-11系统结构图图2-12系统结构图中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第9页共70页例2-10已知机械系统如图2-13(a)所示,电气系统如图2-13(b)所示,试画出两系统结构图,并求出传递函数,证明它们是相似系统。解:(1)若图2-13(a)所示机械系统的运动方程,遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加,平行移动,位移相同,串联元件各元件受力相同,总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为:yKFyxfFxxKxxfFFFii202010121)()()(取拉氏变换,并整理成因果关系有:)()(1)()(1)()]()()[(()(202011sysFsfsxsFKsySxsxKsfsFi画结构图如图2-14:求传递函数为:图2-13系统结构图图2-14机械系统结构图(a)机械系统(b)电气系统中国易考网(chinakao.cn)-优秀的考试资源整合服务商!!7×24全天候客服热线:86-22-89761734,89761570,网址:要考试?上易考网!第10页共70页skfskfskfskfskfsfksfksfksfksXsXi1222112211221122110)1)(1()1)(1()11)((1)11)(()()((2)写图2-13(b)所示电气系统的运动方程,按电路理论,遵循的定律与机械系统相似,即并联元件总电流等于两元件电流之和,电压相等。串联元件电流相等,总电压等于各元件分电压之和,可见,电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出:)()()]()([1)()]()([()]()([1)()(2220201121sEsCsIsEsERsIsEsEsCsEsERsIsIsICciii整理成因果关系:)()()(1)()]()()[(1()(22022011sEIRsEsISCsEs