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20讲题目：平面波与球面波；空间频率；角谱：波的叠加；空间频率的丢失：卷积的物理意义；抽样定理；衍射与干涉；透过率函数；近场与远场衍射；“傅里叶变换与透镜”；対易：衍射的分析法：空品対易；全息；阿贝成像原理（4f系统）；泽尼克相衬显微镜；CTF;OTF;非相干与相干成像系统；衍射的计算机实验；衍射的逆问题；叠层成像（Ptychography）；如何撰写科技文章抽样定理：利用梳状函数对连续函数𝑔(𝑥,𝑦)抽样，得𝑔𝑠(𝑥,𝑦)=𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑥𝑋)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑦𝑌)𝑔(𝑥,𝑦)抽样函数𝑔𝑠,由δ函数的阵列构成，各个空间脉冲在𝑥方向和y方向的间距分别为𝑋,𝑌。每个δ函数下的体积正比于该点g的函数值。利用卷积定理，抽样函数𝑔𝑠的频谱为空间域函数的抽样，导致函数频谱𝐺的周期性复现，以频率平面上(𝑛𝑋,𝑚𝑌)点为中心重复𝐺见图。假定g(x,y)是限带函数，其频谱仅在频率平面一个有限区域R不为0.若2𝐵𝑥，2𝐵𝑦分别表示包围R的最小矩形，在𝑓𝑥，𝑓𝑦方向上的宽度，则只要1𝑋≥2𝐵𝑥,1𝑌≥𝐵𝑦，X,Y为抽样间隔。𝐺𝑠中各个频谱区域就不会出现混叠现象。这样就有可能用滤波的方法从𝐺𝑠中抽取出原函数频谱G，而滤除其他各项，再由G求出原函数，因而能由抽样值还原原函数的条件是1）g(x,y)是限带函数2）在x，y方向上抽样点最大允许间隔分别为12𝐵𝑥，12𝐵𝑦通常称为奈奎斯特间隔。显然，当函数起伏变化大，包含的细节多、频带范围较宽时，抽样间隔就应当较小。抽样数目最小应为(2𝑋12𝐵𝑥)(2𝑌12𝐵𝑥)=(4𝑋𝑌)(4𝐵𝑥𝐵𝑦)=16𝑋𝑌𝐵𝑥𝐵𝑦=𝑆𝑊这是空间带宽积（函数在空域和频域中所占面积之积）2.10若只能用𝑏表示的有效区间上的脉冲点阵对函数进行抽样，即𝑔𝑥(𝑥,𝑦)=𝑔(𝑥,𝑦)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑥𝑋)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑦𝑌)𝑐(𝑥)𝑐(𝑦)试说明，及时采用奈奎斯特间隔抽样，也不在能用一个理想低通滤波器精确恢复𝑔(𝑥,𝑦)。解：因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复，也有贡献不可省略。用𝑏表示的有限区间上的脉冲点阵对函数进行抽样，即𝑔𝑥(𝑥,𝑦)=𝑔(𝑥,𝑦)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑥𝑋)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑦𝑌)𝑐(𝑥)𝑐(𝑦)，抽样函数𝑔𝑠(𝑥,𝑦)对应的频谱为𝐺𝑠(𝑓𝑥,𝑓𝑦)=[𝐺(𝑓𝑥,𝑓𝑦)𝑋𝑌𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑋𝑓𝑥)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑌𝑓𝑦)](𝑓𝑥)(𝑓𝑦)=𝐺(𝑓𝑥,𝑓𝑦)∑∑(𝑓𝑥𝑛𝑋,𝑓𝑦𝑚𝑌)𝑚𝑛𝑏𝑐(𝑓𝑥)𝑐(𝑏𝑓𝑦)=∑∑𝐺(𝑓𝑥𝑛𝑋,𝑓𝑦𝑚𝑌)𝑏𝑐(𝑓𝑥)𝑐(𝑏𝑓𝑦)𝑚𝑛,上式右端大括号中的函数，是以(𝑛𝑋,𝑚𝑌)点为中心周期性重复出现的函数频谱𝐺。对于限带函数，采用奈奎斯特间隔抽样，𝐺𝑠中的各个频谱区域原本不会发生混叠现象，但是和二维𝑐函数卷积后，由于𝑐函数本身的延展性，会造成各函数频谱间发生混叠现象，因而不再能用低通滤波的方法精确恢复原函数𝑔(𝑥,𝑦)。从另一角度看，函数𝑔(𝑥,𝑦)被矩形函数限制范围后，成为𝑔(𝑥,𝑦)(𝑥)(𝑦),新的函数不再是限带函数，抽样时会发生频谱混叠，可以得出同样的解释。2.11如果用很窄的矩形脉冲阵列对函数抽样（物理上并不可能在一些严格的点上抽样一个函数）即𝑔𝑠(𝑥,𝑦)=[𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑥𝑋)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑦𝑌)]𝑐(𝑥𝑥)𝑐(𝑦𝑦)式中，𝑥、𝑦为每个脉冲在𝑥,𝑦方向的宽度。若抽样间隔合适，说明能否由𝑔𝑠还原函数𝑔(𝑥,𝑦)。解：用很窄的矩形脉冲阵列对函数进行抽样，例如当采用CCD采集图像，每个像素都有一定的尺寸大小。这时抽样函数𝑔𝑠(𝑥,𝑦)=[𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑥𝑋)𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑦𝑌)]𝑐(𝑥𝑥)𝑐(𝑦𝑦)对应的频谱为𝐺𝑠(𝑓𝑥,𝑓𝑦)=𝐺(𝑓𝑥,𝑓𝑦)∑∑(𝑓𝑥𝑛𝑋,𝑓𝑦𝑚𝑌)𝑥𝑦(𝑥𝑓𝑥)(𝑦𝑓𝑦)=𝑚𝑛∑∑𝐺(𝑓𝑥𝑚𝑛𝑛𝑋,𝑓𝑦𝑚𝑌)𝑥𝑦(𝑥𝑓𝑥)(𝑦𝑓𝑦),由于𝑥、𝑦尺寸很小，二维𝑐函数是平缓衰减的函数，对𝐺𝑠中各个以(𝑛𝑋,𝑚𝑌)点为中心的函数频谱𝐺(𝑓𝑥,𝑓𝑦)的高度给以加权衰减。上式也可以看成是用经𝑐函数加权衰减的脉冲序列与𝐺(𝑓𝑥,𝑓𝑦)卷积，结果是一样的。由于各个重复出现的频谱𝐺(𝑓𝑥,𝑓𝑦)形状不变，带宽不变，不发生混叠，因而只要抽样间隔合适，仍然能通过低通滤波还原𝑔(𝑥,𝑦).空间频率的理解：传播矢量位于x平面时，由于𝑐𝑜=,xy平面上复振幅分布为(𝑥,𝑦)=𝑥(𝑥𝑐𝑜)等位相线方程为x=与不同C值相对应的等位相线是一些垂直于x轴的平行线，图画出了位相依次相差2的几个波面，与xy平面相交得出的等位相线，这些等位相线接近相等，由于等位相线上的光振动相同，所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差2的两相邻等位相线的间隔X表示，𝑋𝑐𝑜=2所以𝑋=2𝑠=𝑠用空间周期的倒数表示x方向单位长度内变化的周期数，即𝑓𝑥=1𝑋=,𝑓𝑥成称为复振幅分布在x方向上的空间频率。角谱理解：(𝑠，𝑠)=∬(𝑥,𝑦)𝑥[2(𝑥𝑦)]𝑥𝑦，(𝑠，𝑠)称作𝑥𝑦平面上复振幅分布的角谱，引入角谱的概念，进一步理解复振幅分解的物理含义：单色光波场中某一平面上的场分布可看做不同方向传播的单色平面波的叠加，在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量位相，它们的值分别取决于角谱的模和辐角。泰伯效应：用单色平面波垂直照射一个周期性物体，在物体后面周期性距离上出现物体的像。这种自成像效应就称为泰伯效应，是一种衍射成像。3.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为(𝑥)=𝑏𝑐𝑜(2𝑥)式中，为光栅的周期；。观察平面与光栅相距为z。当z分别取下述值时，试确定单色平面垂直照明光栅时在观察平面上产生的强度分布。解：1）==22为泰伯距离，光栅透射光场为式中，A为平面波振幅值。该透射光场对应的空间频率为根据菲涅尔衍射的传递函数可写出观察平面上得到广场的频谱为当==22时则式（A）变为对上式做傅里叶逆变换可得到观察平面上的光场复振幅分布为强度分布为强度分布与光栅透射场分布相同。结论：在泰伯距离处，可以观察到物体的像；在2处观察到的是对比度反转的泰伯像；在处观察到的是泰伯副像，条纹频率变为原来的两倍。3.4孔径的透过率函数表示为(𝑥,𝑦),用向P点汇聚的单色球面波照射孔径，P点位于孔径后面有限短距离z处得观察平面上，坐标是(,).求观察平面上的光强分布，并说明该光强分布与孔径是什么关系;若该孔径是两个矩形孔，求观察平面上的光强分布，并画出沿y轴方向的光强分布曲线。解：孔径平面上透射波的光场分布为(𝑥,𝑦)=x()x{2𝑥2(𝑦𝑏)2}(𝑥,𝑦)把它代入菲涅尔衍射方程，得到衍射光场为(x,y)=()x[2(𝑥2𝑦2)]∬x()x2𝑥2(𝑦𝑏)2(𝑥,𝑦)x2(𝑥2𝑦2)x2(𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑥𝑦=2x2(𝑥2𝑦2𝑏2)∬(𝑥𝑦)x2𝑥𝑥(𝑦𝑏)𝑦𝑥𝑦其强度分布为(x,y)=(2)2|∬(𝑥,𝑦)x2𝑥𝑥(𝑦𝑏)𝑦]𝑥𝑦2即证明了观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费单缝衍射图样。以上分析表明，若采用向观察平面汇聚的球面波照明孔径，在近距离上就可以观察到孔径的夫琅禾费单缝衍射分布。双圆孔:振幅透过率表示透射光场傅里叶变换夫琅禾费光场分布强度分布可双孔衍射图样的强度分布是单孔的衍射图样与双光束干涉图样相互调制结果。双矩形：振幅透过率表示透射光场傅里叶变换夫琅禾费光场分布强度分布可双矩形孔衍射图样的强度分布是单矩形孔的衍射图样与双光束干涉图样相互调制结果。傅里叶透镜和普通透镜的区别：傅里叶变换透镜与普通透镜并无本质区别，只是根据作用的不同将透镜分为傅里叶变换透镜与普通透镜。为了能在较近的距离观察到物体的远场夫琅禾费衍射图样，通常是利用传统的光学元件----透镜，也就是说透镜可以用来实现物体的“傅里叶变换”，我们把实现这种功能的这类透镜称为傅里叶变换透镜。4.2楔形棱镜，楔角为，折射率为n，底边厚度为.其位相变换函数，并利用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角δ。解：如图所示，棱镜的厚度函数为(x,y)=(y)y=(1)𝑦则棱镜的位相调制可以表示为(x,y)=x(x,y)=x()x(1)y忽略常系数，则棱镜的位相变换函数可表示为(x,y)=x(1)y对于小角度入射的平行光束（假设入射角为），其复振幅分布为(𝑥,𝑦)=(𝑥,𝑦)(𝑥,𝑦)=𝑥(y)x(1)𝑦=𝑥(1)𝑦与入射光相比，其传播角度发生了偏转，角度为δ=(1)CTF:把相干脉冲响应的傅里叶变换定义为相干传递函数，即𝐻(𝑓𝑥,𝑓𝑦)=𝐹ℎ̃(𝑥𝑖,𝑦𝑖)},𝐻(𝑓𝑥,𝑓𝑦)=P(λ𝑖𝑓𝑥,𝜆𝑖𝑓𝑦)OTF:非相干成像系统的光学传递函数，强度的传递函数，它描述非相干成像系统在频域的效应。联系：CTF与OTF分别是描述同一个成像系统采用相干照明和非相干照明时的传递函数，它们都取决于系统本身的物理性质，沟通二者的桥梁是ℎ=⌈ℎ̃⌉2CTF和OTF分别定义为𝐻(𝑓𝑥,𝑓𝑦)=𝐹ℎ̃(𝑥𝑖,𝑦𝑖)}利用傅里叶的自相关定理得到因此，对于同一系统来说光学传递函数等于相干传递函数𝐻的归一化自相关函数。区别：截止频率：OTF的截止频率是CTF截止频率的两倍，但前者是对强度而言，后着是对复振幅而言的，两者由于对应物理量不同，不能从数值上简单比较，成像好坏也物体本身有关。两点分辨率：根据瑞丽分辨率判据，对两个等强度的非相干点光源，若一个点光源产生的艾里斑中心恰好与第二个点光源产生的艾里斑的第一个零点重合，则认为这两个点光源刚好能分辨，高斯像面的最小可分辨间隔是δ=122，l是出瞳的直径，对于想干成像系统能否分辨两个点光源，主要考虑两点间距外，还必须考虑他们的位相关系。相干噪声：想干成像系统在像面上会出现激光散斑或灰尘等产生的衍射斑，这些相干噪声对成像不利。非相干成像系统不产生相干噪声。5.2一个余弦型光栅，复振幅透过率为(𝑥,𝑦)=1212(2𝑓̃𝑥)放在图上所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在𝑥平面内，与z轴夹角为。透镜焦距为𝑓，孔径为。1)求物体透射光场的频谱2)使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时像面强度分布3）若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与=时截止频率相比结论如何？解：1)倾斜单色平面波入射，在物平面上产生的入射光场为x（𝑥）则物平面的透射光场为其频谱为其频谱如图，物体有三个频率分量，与垂直入射(=)的情况相比，其频谱沿𝑓𝑥轴整体平移𝑠𝑖𝑛θ。本题中简化计算，。2)物体的空间频谱包括三个分量，其中任意一个分量都对应空间某一特定传播方向的平面波。如果仅让一个分量通过系统，则在像面上不会有强度起伏，因此为了在像面上有强度起伏，即有条纹，至少要让两个频率分量通过系统。对于想干成像系统，其截止频率为𝑓=2=,式中为透镜直径；𝑖=2𝑓。因此选取的角必须至少保证最低的两个频率分量能通过系统，即最低的两个频率分量都在系统的通频带内，即要求{𝑠𝑖𝑛θ≤𝑓𝑓≤𝑠𝑖𝑛θ𝑓̃≤𝑓同时满足上述条件，需要𝑓̃𝑓≤𝑠𝑖𝑛θ≤𝑓，角可以选取的最大值为𝑚𝑥=(lf)当取该值时，只有两个频率分量通过