建筑力学 结构第六章结构的变形

第六章结构的变形一、结构的位移(DisplacementofStructures)AAA位移转角位移线位移AAxAyA点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角PAxAy一、结构的位移(DisplacementofStructures)AAAPAxAy引起结构位移的原因t制造误差等荷载温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?为什么要计算位移?第六章结构的变形二、计算位移的目的(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求第六章结构的变形（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),第六章结构的变形§6-1内力与变形的关系§6.1.1轴向变形与轴力的关系轴向拉（压）杆的变形纵向拉长：L=L1-L,纵向线应变：=L/L横向缩小：d=d1-d,横向线应变´：´=d/d拉杆为正，´为负；压杆为负，´为正。虎克定律当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系：L=NL/EA弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。杆件抗拉（压）刚度：EA将=L/L，=N/A代入，则：=E·虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极限p）时，应力与应变成正比。§6-1内力与变形的关系§6.1.1轴向变形与轴力的关系弯曲变形的概念梁的挠曲线近似微分方程用叠加法计算梁的变形梁的刚度校核用积分法计算梁的变形提高梁弯曲刚度的措施§6-2梁在弯曲时的变形6.2.1弯曲变形的概念梁的挠度和转角梁的挠曲线：变形后的梁轴线是一条连续、光滑曲线.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移y,挠度方程:y=f(x)转角:横截面绕中性轴所转的角度,单位:rad挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量§6-2梁在弯曲时的变形挠度和转角的关系挠曲线上C1点处斜率tg=dy/dx在小变形下，可取tg,因此=dy/dx=y´挠度和转角正负号规定坐标系的建立：y轴向下为正截面挠度y:向下为正，向上为负截面转角:顺时针转为正，逆时针转为负6.2.1弯曲变形的概念§6-2梁在弯曲时的变形6.2.2梁的挠曲线近似微分方程纯弯梁的曲率方程1/=M/EI横向弯曲时,各截面曲率随M(x)而变,忽略剪力Q的影响后1/(x)=M(x)/EI由高等数学可知:在小变形dy/dx1,可忽略,上式简化为2223/2d1dd()[1()]dyxyxx221d()dyxx§6-2梁在弯曲时的变形22d()dyMxxEI挠曲线近似微分方程正负号取决于坐标系的选择和弯矩正负号规定:挠曲线近似微分方程:22d()dyMxxEI6.2.2梁的挠曲线近似微分方程§6-2梁在弯曲时的变形积分法推导梁的变形对等截面直梁,EI=常数.挠曲线近似微分方程改写为:积分一次得转角方程:再积分一次得挠度方程:C和D为积分常数,由挠曲线上已知约束条件确定,称为边界条件.6.2.3用积分法计算梁的变形22d()dyEIyEIMxxd()dyEIEIMxdxCx()EIyMxdxdxCxD§6-2梁在弯曲时的变形6.2.3用积分法计算梁的变形积分法的应用例1:求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.1.列弯矩方程:M(x)=-P(l-x)2.挠曲线近似微分方程EIy´´=-M(x)=P(l-x)积分一次得:EIy´=EI=Plx-Px2/2+C再积分一次:EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D§6-2梁在弯曲时的变形3.确定积分常数边界条件:x=0,=y´=0C=0x=0,y=0D=04.列转角和挠度方程=(Plx-Px2/2)/EIy=(Plx2/2-Px3/6)EI5.求最大挠度fB:将x=l代入:fB=Pl3/3EI(挠度向下)§6-2梁在弯曲时的变形6.2.3用积分法计算梁的变形例2：如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截面A处的转角。解：梁的弯矩方程为：22121)(qxqlxxM将上式一次积分得转角：CqxqlxEI)6141(132x再次积分，可得挠度方程：DCxqxqlxEIy)241121(143)(243顺时针转动qlA)(38454EIqlyC边界条件：时，；时，0ly00ylx0xCqxqlxEI)6141(132DCxqxqlxEIy)241121(143EIqlC2430D)246141(1332qlqxqlxEI)24241121(1343xqlqxqlxEIy故有6.2.4用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形,等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。叠加原理的步骤：①分解载荷；②分别计算各载荷单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。§6-2梁在弯曲时的变形梁的简图挠曲线方程转角和挠度梁在简单载荷作用下的变形)3(62xlEIFxyEIFlyEIFlBB3232axxaEIFxy0)3(62lxaaxEIFay)3(62)3(6222alEIFayEIFaBB)64(24222llxxEIqxyEIqlyEIqlBB8643梁的简图挠曲线方程转角和挠度EIMxy22EIMlyEIMlBB22axEIMxy022lxaaxEIMay)2()2(alEIMayEIMaBB20)43(4822lxxlEIFxyEIFlyEIFlCBA481632梁在简单载荷作用下的变形梁的简图挠曲线方程转角和挠度lxaxblxaxblEIlFbyaxbxlEIlFbxy])()([60)(63223222EIblFbylxEIlblFbyblxbaEIlalFabEIlblFablBA48)43(2/,39)(36)(6)(225.02322max22处在处，在设)2(24323xlxlEIqxyEIqlylxEIqlBA38452244max3梁在简单载荷作用下的变形梁的简图挠曲线方程转角和挠度)(622xlEIlMxyEIMlylxEIMlylxEIMlEIMllBA162/3933625.02max，，，)2)((6xlxlEIlMxyEIMlylxEIMlylxEIMlEIMllBA162/39)311(6325.02max，，，lxaxblaxlxEIlMyaxbxlEIlMxy])3()(3[60)3(62223222)3(6)3(62222alEIlMblEIlMBA梁在简单载荷作用下的变形例4：悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作用有集中力F=ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求截面B的挠度和转角。解：1）分解载荷EIqlEIqlyBqBq6834梁上载荷可分解成均布载荷q与集中力F的叠加。2）查表可得这两钟情况下截面B的挠度和转角：+6.2.4用叠加法计算梁的变形EIqlEIFlEIqlEIFlyBFBF223332433）叠加得截面B的挠度和转角EIqlEIqlEIqlyyyBFBqB241138444（）EIqlEIqlEIqlBFBqB3226333（顺时针）+6.2.5梁的刚度校核一、梁的刚度条件梁的刚度条件][maxfy][max挠度的许用值[f]一般为梁的跨度L的1/200～1/1000。设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max，[f]和[]分别为挠度和转角的许用值，则例5:如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨中作用有集中力F=20kN，跨度为l=8.86m，弹性模量E=210GPa，梁的许用挠度。试校核梁的刚度。500/][lf解：查型钢表可得32a工字钢的惯性矩为：4cm11100zIm1011100102104886.810204889333EIFly查表可得梁的跨中挠度为m1024.12m1077.1500/][2lf故该梁满足刚度条件6.2.5梁的刚度校核提高梁的刚度措施提高梁的抗弯刚度减少梁的跨度或增加支座改善加载方式梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度l以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：1）提高梁的抗弯刚度EI梁的挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚度EI，可以降低梁的变形。值得注意的是，由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢代替普通低碳钢，并不能明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。EIqlEIqlyBqBq68342）减小梁的跨度因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。如果把简支梁的支座向内移动a，简支梁变成外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此挠度减小了。yyy3）改善梁的载荷作用方式合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右图），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。§6-3单位荷载法求结构的变形3.3.1单位荷载法的基本公式kiP1P求k点竖向位移dxEIMMP1Δ欲求的某一截面的变形。1MMP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载引起的内力是。例:1)求A点水平位移所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.单位力状态的确定PAB2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1P1P1P1P§6-3单位荷载法求结构的变形3.3.1单位荷载法的基本公式BA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)m=1P=1P=1§6-3单位荷载法求结构的变形§6-3单位荷载法求结构的变形1.梁与刚架3.3.1单位荷载法的基本公式dsEIMMiPip2.桁架dsEANNiPipEAlNNiP3.拱dsEANNEIMMiPiPip][§6-3单位荷载法求结构的变形例1.求图示悬臂梁B端的竖向位移ΔBV。EI解:(1)取图(b)(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正B为原点)MP=－qx2/2(0≤x≤l)=－x(0≤x≤l)(3)将MP及代入位移公式，得1M1M在杆件数量多的情况下,不方便。下面介绍计算位移的图乘法.EIsMMPiPd§6-4图乘法刚架与梁的位移单位荷载法的计算公式为：一、图乘法图乘法求位移公式为:EIycip图乘法的适用条件是什么?1、杆件的轴线为直线。2、在积分区间内MP、图中至少有一个是直线。3、EI在积分区间内是常数。1MEIsMMPiPd例.试求图示梁B端转角.解:EIycBABP2/l2/lEIBAB1M4/Pl1MP)(1612142112EIPlPllEIM例.试求图示结构B点竖向位移.解:EIycBy