概率论与数理统计讲义

1概率论与数理统计部分第一讲随机事件与概率一、知识要点1．准备知识：熟悉加法原理，乘法原理，无重复排列，可重复排列，组合等知识．2．随机事件（样本空间的子集）的关系与运算．（1）事件的包含，相等，和事件，积事件，差事件，对立事件，互斥事件，独立事件（2）交换律，结合律，分配律，吸收律，DeMorgan律（3）常用结论：;();;,AABAABABABAAAAA∅⊂⊂Ω⊂⊂∪−=⊂∪=Ω=∅1111;(),;(),()∞∞∞∞====∪=∪∪∪==∪∪=∩∩=∪iiiiiiiiABABABABABABABABAAAA3．随机事件的概率（本部分是核心问题）（１）定义①统计定义：大量重复试验的条件下，事件Ａ发生频率的稳定值称作Ａ发生的概率。②古典概率定义：随机试验Ｅ的样本空间Ω含有有限个基本事件，每个基本事件等可能发生，事件Ａ发生的概率规定为==Ω包含的基本事件（）包含的基本事件AkPAn③几何概率定义：随机试验Ｅ的样本空间Ω是一个区域（直线上的区间，平面或空间的区域），每个基本事件等可能发生，规定事件Ａ的概率为④公理化定义：随机试验Ｅ的样本空间为Ω，对任意事件A⊂Ω，赋予一个实数Ｐ（Ａ）称之为事件Ａ的概率，集合函数Ｐ（1）满足三公理（ⅰ）０≤Ｐ（Ａ）≤１（ⅱ）Ｐ（Ω）＝１（ⅲ）{}iA为一列事件，()ijAAij∩=∅≠，则()iii1i1PAPA∞∞==⎛⎞∪=⎜⎟⎝⎠∑2⑤条件概率：Ａ，Ｂ为二事件，()PA0，在事件Ａ发生的条件下，Ｂ发生的概率称作条件概率，规定()()()PABPB|APA=（2）性质①()P0∅=②()()()iiiji1i1PAPAAAij∞∞==⎛⎞∪=∩=∅≠⎜⎟⎝⎠∑③AB⊂时，()()()PBAPBPA−=−④()()PA1PA=−⑤()()()()nnn1ii12ni1i11ijnPAPAPAiAj1PAAA−==≤≤≤⎛⎞∪=−++−⎜⎟⎝⎠∑∑LL⑥()()()()()12n121312n12n1PAAAPAPA|APA|AAPA|AAA−=LLL（3）计算①直接计算（ⅰ）用古典概型公式（适用于有限等可能概型）（ⅱ）用几何概型公式（适用于“无限等可能”概型）（ⅲ）用Bernoulli独立试验序列概型（适用于有限，不等可能概型）②间接计算（ⅰ）用概率的基本性质及推论（ⅱ）用事件的关系及运算法则，将问题转化为与之等价事件的概率（ⅲ）用加法公式，乘法公式（ⅳ）用全概公式：()iBi1,2n=L为完备事件组，则对AΩ∀⊂,有()()()njii1PAPBPA|B==∑（ⅴ）用Bayes公式：()iBi1,2n=L为完备事件组，则对AΩ∀⊂,有()()()()()()()jjjjnji1PBAPBPA|BPB|APAPBPA|B===∑()j1,2,n=L3二、例题分析（一）关于事件运算及概率的基本性质1．A,B,C为三个随机事件，与事件()()ABABCAC∪−∪−相等的是（）A．ABCB．ABABAC∪∪C．ABC∪∪D．ABC2．A,B,C为三个随机事件，且()()()()()PAx,PB2x,PC3x;PABPBCy,=====又则ｘ与ｙ的昀大值为（）A．13B．14C．15D．163．A,B,C为三个随机事件，且()PC|AB1=，则下列结论正确的是（）A．()()()PCPAPB1≥+−B．()()()PCPAPB1≤+−C．()()PCPAB=D．()()PCPAB=∪4．已知2()(),3PAPB==则(|)PAB昀小可能取值等于（）A.16B.14C.13D.12（二）用古典概型，几何概型，独立试验序列概型计算概率5．袋中有13个球，（６白，7红）求Ａ＝“从袋中取出2个球中至少有一红球”的概率。6．10件产品中有4件次品，则Ａ＝“逐个检查，不连续出现2个次品”的概率()PA=（）A．16B．15C．14D．257.在区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之差绝对值小于13的概率是多少？8.n个人将帽子混在一起，蒙上眼，然后每人任取一顶，求至少有一人拿对自己帽子的概率。9．将一枚硬币，独立重复掷5次，求Ａ＝“正，反面都至少出现2次”的概率。10．（1）A，B为随机事件，()0PB1，且ABAB=，则()()PA|BPA|B+=。（2）已知A，B仅有一个发生的概率为0.3，且()()PAPB0.5+=，则A，B至少有一个不发生的概率为。411．设一枚高射炮弹击落来犯敌机的概率为13，击伤敌机概率为12，击不中的概率为16。设击伤两次也能导致将敌机击落，求4门高射炮同时各射击一枚炮弹，能击落敌机的概率。12．甲袋中有4个红球，乙袋中有8个球（4白，4红）“先从乙袋取一球放入甲袋，再从甲袋取一球放入乙袋”称为一次交换，求Ｂ＝“4次交换后，甲袋中有4个白球”的概率。13．（1）若()PA1=，试证，对任意随机事件B有()()PABPB=。（2）已知离散型随机变量Ｘ的分布律为，1pY12⎧⎫=−=⎨⎬⎩⎭，又n维列向量123,,ααα线性无关，求向量组122331,2,XYα−αα−αα+α线性相关的概率。14．一批元件的合格率为95％，用某种方法检测时，合格品被误检为不合各品的概率为0.02；不合格品被误检为合格品的概率为0.03。求（1）检测合格率？（2）用此法测出合格品的可信度。（3）用此法检测的可靠性。（四）有关独立性的讨论。15.某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)PP，则B=“此人第4次射击恰好第二次命中目标”的概率为（）A.23(1)PP−B.26(1)PP−C.223(1)PP−D.226(1)PP−16.,,ABC为三个随机事件，它们相互独立，如果成立条件（）A.,,ABC两两独立B.()()()()PABCPAPBPC=C.()1PAB−=D.()0PAB−=5第二讲随机变量及其概率分布一、知识要点一维随机变量的概率分布1．随机变量：随机试验Ｅ的样本空间为{}Ω=ω对Ω∀ω∈，存在惟一实数值()XX=ω与之对应，则称()XX=ω为一个随机变量．（注意：严格地讲“对任意实数x，集合(){}|Xxωω≤（即使得()Xxω≤的所有样本点ω组成的集合）有确定的概率”这一要求应包括在随机变量的定义之中，一般来说，不满足这一条件的情况，在实际中很少遇到，故定义中未提及这一要求）．2．分布函数：Ｘ为随机变量，对xR∀∈，称(){}FxpXx=≤(x)−∞+∞求Ｘ的分布函数。分布函数有以下性质①()0Fx1≤≤②()()xxlimFx0,limFx1→−∞→+∞==③当12xx时，()()12FxFx≤④()()xa0limFxFa→+=由分布函数可求得概率：{}()(){}()()PaXbFbFaPXaFaFa0≤=−⎧⎪⎨==−−⎪⎩3．离散型随机变量与分布律①若随机变量Ｘ仅取有限个，至多可列无限个值，则Ｘ为离散型随机变量。②离散型随机变量的分布可用分布律表示：{}()kkPXxPk1,2,===LL其中()kkk1P1,P0k1,2,∞===∑LL6③分布函数是非降的阶梯函数，对xR∀∈．(){}kkxxFxPXxP≤=≤=∑在kx处的跃度为，()()()kkkPFxFx0k1,2=−−=LL4．连续型随机变量及其概率密度。①若随机变量X的分布函数()Fx可以表示成()()xFxftdt−∞=∫（－∞＜ｘ＜＋∞）则称Ｘ为连续型随机变量，其中非负可积函数()fx叫Ｘ的概率密度函数，它必须满足（ⅰ）()fx0≥（－∞＜ｘ＜∞）（ⅱ）()fxdx1+∞−∞=∫②Ｘ为连续型随机变量，对a,bR,ab,∀∈可算得概率：{}{}{}{}()baPaXbPaXbPaxbPaxbfxdx=≤=≤=≤≤=∫③连续型随机变量的性质为（ⅰ）分布函数()Fx必为连续函数．（ⅱ）对{}aR,PXa0∀∈==．（ⅲ）在概率密度()fx的连续点处，有()()dFxfxdx=．5．几个常见重要随机变量．①“０－１”分布：Ｘ的分布律为则称Ｘ服从01−分布，记为()XB1,P:②二项分布：Ｘ的分布律为{}()()nkkknPXkCP1Pk0,1,2,n−==−=L则称Ｘ服从参数为ｎ，Ｐ的二项分布，记为()XBn,P:③Poisson分布：Ｘ的分布律为{}()kePXkk0,1,2,k!−λλ===LL则称Ｘ服从参数(0)λ的Poisson分布，记为()XPλ:④超几何分布：Ｘ的分布律为X01P1-PP7{}()()()knkMNMnNCCPXkk0,1,2,llminM,nC−−====LL其中Ｍ，Ｎ，ｎ为正整数且Ｍ≤Ｎ，称Ｘ服从参数为n，N，M的超几何分布．⑤均匀分布：若Ｘ的概率密度为1()0axbfxba⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它则称Ｘ服从区间[],ab上的均匀分布，记为[],:XUab．⑥指数分布：若Ｘ的概率密度为0()0xexfxλλ−⎧=⎨≤⎩x0其中常数λ＞０，则称Ｘ服从参数为λ的指数分布，记为()XEλ:．⑦正态分布：若Ｘ的概率密度为()()2221()2−−=−∞+∞xfxexμσπ其中常数2,0−∞+∞μσ，则称Ｘ服从参数为μ，2σ的正态分布，记为2,⎡⎤⎣⎦:XNμσ。注（ⅰ）当[]0,1:XN时，概率密度记为()221()2−=−∞+∞xxexϕπ而分布函数记为()221()2−−∞−∞Φ==∫∫txxxtateatϕπ（ⅱ）()Φx有以下性质：()()()10;21⎧Φ=⎪⎨⎪Φ−=−Φ⎩xx（ⅲ）当()2,:XNμσ时，对,,,∀∈abRab　有{}−−⎛⎞⎛⎞≤=Φ−Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠baPaXbμμσσ86．随机变量函数的分布．①设()gx是一个定义于(),−∞+∞的函数（()gx一般为连续函数）随机变量Ｘ的函数()gX是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值()=Ygx，记作()=YgX②当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，如何求()YgX=的布律，设{}()1,2,===LLkkPXxPk则()=Ygx的分布律为(){}()1,2,===LLkkPYgxPk注意取相同()kgx值对应的那些概率应合并相加③当X为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度如何求()YgX=的概率密度为求()=YgX的概率密度，可先求它的分布函数（所谓的分布函数法）设X的概率密度为()fx，则()=Ygx的分布函数为，对∀∈yR，(){}(){}{}()1=≤=≤=∈=∫yYyFyPYyPgXyPXIfxdx其中{}∈yXI是与(){}≤gXy相等的随机事件，而(){}|=≤yIxgxy是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．④两个定理［定理］设随机变量Ｘ有概率密度()()−∞+∞xfxx，又知函数()=ygx处处可导且恒有()0′gx（或恒有()0′gx），而()=ygx的反函数为()=xhy，则()=YgX为连续型随机变量，其概率密度为()()||()0xYfhyhyyfyαβ⎧′⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其它其它其中()()()()()()min,,max,ggggαβ=−∞+∞=−∞+∞［定理］如果()2,:XNμσ，当0a≠时，()22,=++:YaXbNabaμσ，特别，()0,1−:XNμσ7．附注：①几何分布：若随机变量Ｘ的分布律为{}()()111,2−==−=LLkPXkPPk则称X服从参数为Ｐ的几何分布。9②对数正态分布：若随机变量X的概率密度为()22ln210()200−−⎧⎪=⎨⎪≤⎩xexfxxxμσπσ其中常数2,0−∞+∞μσ，则称X服从参数为2,μσ的对数正态分布．③涉及形如()0tnPtedt+∞−∫的积分时（()nPt是t的n次多项式）使用Γ函数及其性质，往往可化简运算，带来方便④Γ函数定义：()10ttedtαα+∞−−Γ=∫⑤Γ函数性质：（ⅰ）()()()10ααααΓ+=Γ（ⅱ）()()121Γ=Γ=（ⅲ）12⎛⎞Γ=⎜⎟⎝⎠π二、例题分析（一）用分布的充要条件（分布函数；分布律或概率密度）确定分布中的参数，分布函数与分布律，概率密度的转化。1