第四章格林函数法2013

第四章拉普拉斯方程的格林函数法4.1拉普拉斯方程边值问题的提法4.1拉普拉斯方程边值问题的提法zyxuu,,,0222222zuyuxu02u设满足拉普拉斯方程描述稳恒状态下的物理过程。通常表示成不存在初始条件.拉普拉斯方程的解称为调和函数1）第一边值问题狄利克雷(Direchlet)问题边界条件:|.uf)(0u2)第二边值问题)(0ufnu纽曼(Neumann)问题4.1拉普拉斯方程边值问题的提法4.2格林公式4.2格林公式高斯公式：设是以光滑曲面为边界的有界区域，，，在闭域上连续,在内有一阶连续偏导数，则zyxP,,zyxQ,,zyxR,,cos,cos,cos,PQRdVPnxQnyRnzdSxyz其中为的外法向量。n高斯公式可简记为SdnadVa21,CCvu,,,uuxyzzyxvv,,设满足xvuzyxP,,yvuzyxQ,,zvuzyxR,,令1,,CCRQP则RQP,,将代入高斯公式，等式右端dSznzvynyvxnxvu,cos,cos,cosdSnvu4.2格林公式4.2格林公式PQRdVxyzdVxvuxvxu22dVyvuyvyu22dVzvuzvzu22dVzvzuyvyuxvxudVzvyvxvu222222gradgraduvdVvdVu22uvdVvudSngradgraduvdV所以第一格林公式交换的位置,有vu,udVv2dSnuvgradgradvudV两式相减,得()vuuvdSnn22()uvvudV第二格林公式1)牛曼内问题有解的必要条件设u是在以为边界的区域内的调和函数,在上有一阶连续偏导数,则在第二格林公式中取u为上述调和函数,,则有.所以牛曼内问题()有解的必要条件为函数f满足1v0dSnuufn0fdS事实上,这也是牛曼内问题有解的充分条件.4.2格林公式设是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则它们的差必是原问题满足零边界条件的解.对于狄利克雷问题，v满足12,uu21uuv0|,02vvv对于牛曼问题,v满足0|,02nvvv2)拉普拉斯方程解的唯一性问题4.2格林公式在第一格林公式中取,由v是调和函数，可得21uuvu0gradgradvvdSvvdVn0,vvdSn在两种边界条件下，都有2grad0.vdV所以故在内必有,即grad0v0zvyvxvCv可得，其中C为常数.4.2格林公式对于狄利克雷问题,由于,故从而.0|v0C0v结论狄利克雷问题在内的解是唯一确定的,牛曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的.12CC4.2格林公式3)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式,是指用调和函数及其在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在内任一点的值.4.2格林公式设是内一固定点,下面求调和函数在这一点的值.0000,,zyxM为此构造一个辅助函数20202011zzyyxxrv可以证明函数除点外处处满足拉普拉斯方程,它称为三维拉普拉斯方程的基本解.r10M4.2格林公式为了利用格林公式，我们在内挖去的球形邻域,是其球面.在区域内及其边界0MK上，是任意可导的。Krv1在第二格林公式中,取u为调和函数,假定它在上有一阶连续偏导数,而取,在区域上应用公式得rv1K2211KuudVrr11urudSnrn4.2格林公式221/1/11rrnrr在球面上2221/1144rudSudSuur因此同理可得nudSnudSnur41104411nuudSnurrnu因此4.2格林公式令,则000limMuu04lim0nu0001114MMMMuMuMuMdSnrrn于是4.2格林公式0214aKuMudSa设函数在某区域内是调和函数,是内任一点,表示以为中心,为半径且完全落在内的球面,则有MuaK0Ma0M4.2格林公式4)平均值公式4.3格林函数4.3格林函数能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解？0001114MMMMuMuMuMdSnrrn调和函数的积分表达式un为得到狄利克雷问题的解,必须消去,这需要引入格林函数的概念.设为内的调和函数并且在上有一阶连续偏导数，利用第二格林公式vu,22()uvvudV()vuuvdSnn0()vuuvdSnn可得dSnMurrnMuMuMMMM0011410与dSnuvrrnnvuMuMMMM00411410相加得4.3格林函数如果能找到调和函数v,使得,那么上式意味着01|4MMvrdSrnnvuMuMM01410dSvrnuMM041001,4MMGMMvr令dSnGuMu0则拉普拉斯方程的格林函数4.3格林函数20,|uuuf0GuMfMdSn如果能找到格林函数中的v并且它在上有一阶连续偏导数，则狄利克雷问题的解如果存在,必可以表示为类似的，泊松问题2,|uFuuf的解可以表示为0GuMfMdSGFdVn4.3格林函数说明格林函数仅依赖于选取的区域,而与原定解问题中的非齐次项、边界条件无关.如果求得某个区域的格林函数,就可以解决该区域的一切狄利克雷问题.2,|uFuuf020,1|4MMvvvr求解狄利克雷问题意义何在？4.3格林函数要想确定格林函数,需要找一个调和函数v,它满足:.对于一般的区域,确定v并不容易,但对于一些特殊的区域,如半空间，球域等,格林函数可以通过初等方法得到.我们通常使用“电象法”求解。MMrv041|4.3格林函数注：拉普拉斯方程的基本解2031ln2nrnGnr称为拉普拉斯方程的基本解，其中r表示空间中两点之间的距离。0,MM001,3,411ln,2.2MMMMnrnr或者三维基本解的物理意义：在处放置一单位正电荷，则它在自由空间产生的静电场的电位是0M014MMr4.3格林函数Green函数的物理意义将上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在内给出和原来的问题同样的解1M0M在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在面内侧必然出现感应电荷,内任意一点的电位，就是点电荷的电位和感应电荷的电位v的叠加，Green函数=内的电位.014MMr4.3格林函数4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解所谓电象法，就是在放置的单位正电荷，在区域外找出关于边界的象点，然后在象点放置适当电量的负电荷，由它产生的负电位与处的单位正电荷所产生的正电位在曲面上互相抵消。而和处的点电荷在内的电位就是所要求的格林函数。0M1M0M0M1M0M4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解故和处的电荷在内的电位就是所要求的格林函数。0M1M在区域内点放置的单位正电荷；在区域外找出关于边界的某种对称点；在点放置适当电量的负电荷，使得它产生的负电位与处正电荷产生的电位在上互相抵消。1M0M0M1M0M2()01|4vMMvr，01,,4GMMvr处电荷所形成的电场在的电位0M处电荷所形成的电场在的电位1M4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解点的位置点放置的负电荷的电量1M1M在区域内点放置的单位正电荷在区域外找出关于边界的某种对称点在点放置适当单位的负电荷，使得它产生的负电位与处正电荷产生的电位在上互相抵消。1M0M0M1M0M关于边界的某种对称点0M101044MMMMMMqrr4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解1)半空间的格林函数求解拉普拉斯方程在半空间内的狄利克雷问题，就是求函数u(x,y,z)，它满足0z22222200,0|,,,zuuuzxyzufxyxy4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解在点放置单位负电荷。1000(,,)Mxyz.PM1xzyo.M0(x0,y0,z0）M.为解上述方程，首先找格林函数0,.GMM在点()放置单位正电荷，0000(,,)Mxyz00z问题：1.等效点电荷的位置2.等效点电荷的电量要求：它与处的正电荷产生的电位在平面z=0上抵消0M1000(,,)Mxyz114MMvr电位：4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解在点放置单位负电荷。1000(,,)Mxyz.M0(x0,y0,z0）.P.M1xzyoM.114MMvr电位：由于在上半空间内为调和函数，在闭域上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格林函数：114MMr0z01011(,)44MMMMGMMrr4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解由于在上半空间内为调和函数，在闭域上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格林函数：114MMr0z0GuMfMdSn狄利克雷问题的解:01011(,)44MMMMGMMrr4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解0GuMfMdSn2222220000001140()()()()(-)(+)zzxxyyzzxxyyzz000011441zzMMMMzGGnzzrr01011(,)44MMMMGMMrr4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解030222200014()zzzGnxxyyzz03222200012()zxxyyz0322220000[]zzzxxyyzz4.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解将上式代入到0,GuMfMdSn即得到原问题的解:000032222000(,,)1,2()uxyzzf