用微分法计算行列式

目录摘要.....................................................................1关键词...................................................................1Abstract.................................................................1Keywords................................................................1引言.....................................................................11基本知识...............................................................21.1n阶行列式的定义......................................................21.2n阶行列式的性质......................................................21.3一些特殊的行列式的值.................................................21.4求行列式一般方法.....................................................32行列式微分法的理论.....................................................32.1行列式的求导法则.....................................................32.2一类行列式的积分法则.................................................53用微分法求行列式.......................................................53.1用常微分方程求解行列式................................................53.1.1对阶数比较低行列式求解.............................................53.1.2对n阶行列式求解....................................................63.2用偏微分方程求解行列式...............................................83.3用积分法求解行列式..................................................134结论..................................................................14参考文献................................................................15致谢....................................................................161用微分法计算行列式摘要将含参数行列式中一个或多个参数看作自变量，把行列式看作参数函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或者一个原函数或者一种递推关系，然后通过不定积分和参数取特殊值或者求导，最终求出行列式的值.利用微分法求解行列式，可以简化行列式的计算.关键词行列式求导法则积分法则UsingDifferentialMethodtoCalculatetheDeterminantStudentmajoringinMathematicsandAppliedMathematicsMaGuangshengTutorZhangQunliAbstractBasedonderivationorintegralrule,considertheparameter(s)ofdeterminantasindependentvariable,therelationsaboutthedeterminant,suchastheoriginalfunction,therecursiverelationsandsoon,areobtainedandthevaluesofthedeterminantarefound.Usingdifferentialmethodtosolvethedeterminant,thedeterminantofcomputationcanbesimplified.KeywordsDeterminantDerivationruleIntegrationrule引言行列式[15]是高等代数的基石，它是求解线性方程组、求逆矩阵及求矩阵的特征值的基础，并且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.对于一个n行列式都可以由它的定义去计算它的值，但是根据行列式定义知，n行列式的展开式有!n项，计算量很大，因此行列式的计算灵活多变需要技巧的.通常行列式的计算都是用行列式的展开式、行列式的性质、一些特殊的行列式等方法，即用高等代数知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，本文用分析手段来求解行列式[69]为例，作了这方面的尝试.刘传奔：用微分法计算行列式21基本知识1.1n阶行列式的定义将2n个数(,1,2,,)ijaijn排成n行n列的形式，按照下式1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa计算得到的一个数，称为n阶行列式(n-orderdeterminant).1.2n阶行列式的性质性质1行与列互换，行列式的值不变.性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外.性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之和之一，其余行（列）元素与原行列式相同.性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变.性质7交换两行（列）的位置，行列式的值变号.1.3一些特殊的行列式的值（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积.即11111212122222112212nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa（2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即1111,11(1)2,12212,1212,111,11(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa3（3）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即111111111111111100**00****00**00nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaabbbbbbbb11111111nnnnnnnnaabbaabb111111111111111100**00****00**00nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaabbbbbbbb11111111(1)nnnmnnnnnnaabbaabb（4）奇数级反对称行列式的值为零.1.4求行列式一般方法常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法，数学归纳法和乘积法.2行列式微分法的理论2.1行列式的求导法则定理1设()(,1,2,,)ijatijn为可微函数，则有行列式的求导法则[1011]刘传奔：用微分法计算行列式41111111212122221221121()()()()()()()()()()()()()()()jnnnnjnjnnnnnnjnndataatdtatatatdatatatataatddtdtatatatdataatdt.证明行列式11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()jnjnjnniiiniiniiiinnnnatatatatatatatatatatatat故11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()jnjnjnniiiniiniiiinnnnatatatatatatddatatatdtdtatatat111()12(1)()()()jnjnjniiiiiniiiidatatatdt111()12(1)(()()())jnjnjniiiiiniiiidatatatdt111()121(1)()()())jnjnjnniiiiiniiiijdatatatdt111()121[(1)()()()]jnjnjnniiiiinijiiidatatatdt又因为1111111()2122121()()()()(1)()()()()()jnjnjnjniiijniiniiiinnjnndataatdtdataatdatatatdtdtdataatdt，结论的证.注（1）该定理也可以按行求导数.（2）该公式也可以用数学归纳法证明[9].（3）把导数换成积分类似地证明一些特殊行列式的积分法则.52.2一类行列式的积分法则定理2已知(1,2,,;2,,)ijainjn==为与t无关的量，1()(1,2,,)iatin=为t的可积函数，对于矩阵111212122212()()()nnnnnnataaataaAataa骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫，有1112102122200120()()()xnxxnxnnnnatdtaaatdtaaAdtatdtaa=òòòò.3用微分法求行列式3.1用常微分方程求解行列式3.1.1对阶数比较低行列式求解例1计算行列式1111111111111111xxyy.解令11111111()11111111xxfxyy，则21111101101111111()020111101101111011xxdfxxyyydxyy.对()dfxdx求关于x的不定积分得，22()fxxyc（其中c为积分常数）.当0x时，行列式的前两列相同，由行列式的性质4得：(0)0f，故22()fxxy.刘传奔：用微分法计算行列式6例2计算行列式cos10012cos10012cos10012cos.解用x代替cos，则行列式变为100121001210012xxxx，令1001210()01210012xxfxxx，对()fx求关于x的导数得11000001001000210121012001210()01210021012101200012001200020012xxxxxxdfxxxxdxxxx33216xx对()dfxdx求关于x的不定积分得，42()88fxxxc（其中c为积分常数）.当0x时，01001010(0)101010010f，从而1c，故42()881fxxx.把cosx代入()fx中得，4222(cos)8cos8cos18(cos1)cos1f2212(2cossin)12sin(2)cos4.3.1.2对n阶行列式求解例3计算n阶行列式1231111111111111111naaaa.解令1231111111111111111nnaaDaa，先设1a为自变量，71223311111110111111101111111011