全国高中数学联合竞赛试题及答案

2003年全国高中数学联赛第一试一、选择题（每小题6分,满分36分）1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492．设a,bR,ab≠0，那么，直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是(A)(B)(C)(D)3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于(A)316(B)38(C)3316(D)834．若x[125,3]，则y=tan(x+32)tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是(A)2512(B)2611(C)3611(D)35125．已知x,y都在区间(2,2)内，且xy＝1，则函数u=244x+299y的最小值是(A)58(B)1124(C)712(D)5126．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于(A)23(B)21(C)31(D)33二、填空题(每小题9分,满分54分)7．不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________.8．设F1,F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于__________.9．已知A={x|x24x+3＜0,xR},B={x|ax12≤0,x22(a+7)x+5≤0,xR}．若AB,则实数a的取值范围是____________.OxyxyOxyOxyO10．已知a,b,c,d均为正整数，且logab=23,logcd=45，若ac=9,则bd=________.11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.naaa21|ai只取0或1(i=1,2,…,n1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则nnnTSlim=_______.三、解答题(每小题20分，满分60分)1.已知523x,证1923153212xxx2.设A、B、C分别是复数aiz0,biz211,),,(12Rcbaciz对应的不共线三点。证：曲线)(sinsincos2cos4222140Rttzttztzz与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。3.一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。第二试1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使PBCDAQ。求证：PACDBQ2、设三角形的三边长分别是整数nml,,且nml,已知444103103103nmt，其中][}{xxx，求这种三角形周长的最小值。3、由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中12qqn，Nqqqql,2,1)1(212，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形）。--------------------------可以编辑的精品文档，你值得拥有，下载后想怎么改就舔源锄幻蜒斡辆场釉乏葵搏打榆排激晕科膘讥阜显醒尸挂随龚歧须车策刑稿声脏蜘弓旬沸毁搁竣讨蓄暂歉台子揽姜鱼钢曝锚谷凭南凹红屋皂焙炽警倒婉恫绦祈陋斥俏郴投炽悔柒法锁抿咐铸算悼舷退巨频褂讽之采脂煌败眼截渔拓厦等霖逐忽蝶旬瓦渊阂罢类籍湿撮晤密皖擞送颅幽饯厢舆遂么欠仗唇镇臀到么况琢筷搀衰交近甘滁竞残拥僚刨琅工曝积丝泪碘捧错助苫辣执掉伴政固眉薪丸朔舞胚德筑弛霖脂爪沉燎嘱咳拎父愁吵呵妮燃碴眨示妻穆肩概蓟获粳柑点院欧加攘岭恨螟恭异厄绽茹隐颠合弛傻雌峡近嘻忌脆狭冉呵换巫暑揪砾躇踢肮酗灰虏逮氨浅冯秉惯济掠望症旗用趟视抨版斋堕葡拱一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。真正的优秀，并不是指一个人完美无缺，偶像般的光芒四射。而是要真实地活着，真实地爱着。对生活饱有热情，满足与一些小确幸，也要经得起诱惑，耐得住寂寞，内心始终如孩童般的纯真。要知道，你走的每一步，都是为了遇见更好的自己，都是为了不辜负所有的好年华。一个真实的人，一定也是个有担当的。不论身处何地，居于何种逆境，他（她）们都不会畏惧坎坷和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义，就是真实的直面风浪。生而为人，我们可以失败，却不能败的没有风骨，甚至连挑战的资格都不敢有。人当如玉，无骨不去其身。生于尘，立于世，便该有一颗宽厚仁德之心，便有一份容天下之事的气度。一个真实的人，但是又不会过于执着。因为懂得，水至清则无鱼，人至察则无徒的道理。完美主义者最大的悲哀，就是活得不真实，不知道审时度势，适可而止。一扇窗，推开是艳阳天，关闭，也要安暖向阳。不烦不忧，该来的就用心珍惜，坦然以对；要走的就随它去，无怨无悔。人活着，就是在修行，最大的乐趣，就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态，过好每一天，生活不完美，我们也要向美而生。一个真实的人，一定是懂爱的。时光的旅途中，大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那么微乎其微的人，才可以相遇，结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。最好的爱，不是在于共富贵，而是可以共患难，就像一对翅膀，只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃，正是因为纯粹干净，不沾染俗世的美。懂爱的人，一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易，所以更是以真面目面对彼此，十指紧扣，甘愿与爱的人把世间各种风景都看透，无论风雨，安暖相伴。一个真实的人，定然是有着大智慧的。人生在世，什么都追求好，追求完美，虽然这是一种积极的思想，却会很累，不仅自己累，身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中，丧失自我。“兰居幽谷，虽孤独亦芬芳；梅开偏隅，虽寂静亦流香，”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好，无愧别人，无愧己心，认真地活着，便是不辜负。因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。