易拉罐形状和尺寸的最优设计

1易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为1.8rcm，高为11.6hcm，中间最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱2问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.3问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料.易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：直径1d1h2h直径2dh图①易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h为12.3cm，顶盖到底面的高1h为12cm，中间胖的部分的高2h为10.2cm，顶盖直径1d为5.9cm，中间胖的部分的直径2d为6.6cm、周长为20.8cm.在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].4综上，将易拉罐各部分的数据列表如下：罐体组成部分名称测量数据顶盖直径1d5.9cm中间胖的部分的直径2d6.6cm中间胖的部分的高2h10.2cm顶盖到底面的高1h12cm侧面的高h12.3cm中间胖的部分的周长20.8cm侧面和顶盖、底面的厚度比1:22、对于问题二⑴模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.侧面厚度底面厚度高度h半径r图②易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d，底面外侧圆半径为r，罐高为h，罐的容积为V，侧面所用材料的体积为V侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V底，所用材料体积为V材.其中，d和V是固定参数，r和h是自变量，V材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d；侧面所用材料的体积为：22[()]Vrrdh侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2Vrdd底；222[()]2()2VVVrrdhrdd侧材底5且2()(22)Vrdhd综上，我们可以建立以下的数学模型：222min(,)[()]2()2(,)355..0,0VrhrrdhrddVrhstrh材┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数，函数(,)(,)355rhVrh，令(,,)(,)(,)LrhVrhrh材要求L的极值，即其对rh、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0VLrrrVLhhhLrh材材通过在Matlab软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.rhrdhddddd；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm，从顶盖到底面的高为：12cm，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶验证:1:4rh使V材达到最小要验证:1:4rh使V材达到最小，我们只需验证r使V材达到最小.由2()(22)Vrdhd,可得:24()Vhdrd2222[()]42()2()VVrrddrddrd材6计算''V材,通过在Matlab软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500dV材，其中0d，故''0V材.又由于在前面我们已经求得3.046rd，所以，这个r的确使V材达到局部最小,因为临界点只有一个,故也使V材达到全局最小.3、对于问题三⑴模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径1r高度1h高度2h半径2r图③易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r，下底面半径为2r，圆台的高为1h，圆柱体的高为2h，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d，罐的容积为V，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V底，所用材料体积为V材.其中，d和V是固定参数，1r、2r、1h和2h是自变量，V材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d；又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()SrrlRlR圆台表，圆台的体积''2211()()33VSSSShrrRRh圆台7（其中，rR、分别为圆台上底、下底半径，h为圆台的高，l为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：222212121222[()()][()]Vrrhrrdrrdh侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2Vrrdd底；1212(,,,)VrrhhVV侧材底且22211212221(2)[()()]()(2)3Vhdrrdrrdrdhd（这里母线长为22121()hrr）综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min(,,,)(,,,)355..0,0,0,0VrrhhVrrhhstrrhh材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③⑵模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题.引入参数，函数12121212(,,,)(,,,)355rrhhVrrhh，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]LrrhhVrrhhVrrhh材要求L的极值，即其对1212,,,,rrhh的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0VLrrrVLrrrVLhhhVLhhhLrrhh材材材材通过在Matlab软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下8所示：14.211820119.10820rrhh、、、┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①121203.45273.08848.4498rrhh、、、┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②.我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高