常微分方程积分因子法的求解

第1页共19页用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：Aftereachdifferentialequationthroughintotheappropriateequation,canusetheappropriateequationsforsolvingnonappropriateformula,thedifferentialequationistransformedintoanappropriateequationisanimportantstepinsolvingdifferentialequations,intotheappropriateequationrequiresthesolutionoftheintegralfactor,thussolvingtheintegralfactorbecomesveryimportant.Thispapermainlyresearchforseveralkindsofdifferentialequationofintegralfactor,tomakeiteasyforsolvingdifferentialequations.KeyWords：DifferentialequationExactdifferentialequationIntegratingfactorGeneralsolution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1恰当微分方程1.1常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.第2页共19页方程2(),2dydybcyftdtdt（1.1）20dydytydtdt（1.2）就是常微分方程的例子，这里y是未知数，t是自变量.1.2恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0MxydxNxydy（1.3）这里假设(,)Mxydx，(,)Nxydy在某矩形区域内是x，y的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)uxy的全微分，即(,)(,)(,)MxydxNxydyduxy（1.4）则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),uxyc（1.5）这里c是任意常数.定理1[2]设函数(,)Mxydx和(,)Nxydy在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).MxyNxyxy（1.6）1.3恰当微分方程的解法方法1凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式方法2不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)MxydxNxydyduxy由此，函数(,)uxy应适合方程组(,),(,)uuMxyNxyxy第3页共19页对(,)uMxyx关于x积分得(,)()uMxydxy两端关于y求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)uMNdxydxyNxyyyx通过对方程'()(,)NdxyNxyx关于y积分，解出()y，从而可得(,)()uMxydxy的表达式，令(,)()Mxydxyc即得方程的通解.如果对(,)uNxyx关于y积分，同理可得方程的通解为(,)()Nxydxxc其中()x可类似于()y求解的方法得到.方法3公式法：方程的通解为000(,)(,)xyxyMxydxNxydyc或000(,)(,)xyxyMxydxNxydyc其中c是任意常数[3].例1求2()(2)0xydxxydy的通解解这里2,2MxyNxy,在xy平面上有连续偏导数，这时1,1,MNyx因此方程为恰当微分方程.方法1（不定积分法）现在求u，使它同时满足如下两个方程：第4页共19页2uxyx，（1）2uxyy.（2）由（1）对x积分，得到31()3uxxyy，（3）将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得()2udyxxyydy，于是()2,dyydy积分后得2(),yy将()y代入（3），得到321.3uxxyy因此，方程的通解为321,3xxyyc这里c是任意常数.方法2（公式法）取00(,)(0,0)xy因此00(,)(,)(,)xyuxyMxydxNxydy200()(2)xyxydxxydy第5页共19页321()003xyxxyy3213xxyy因此，方程的通解为321,3xxyyc这里c是任意常数.方法3（凑微分法）将方程重新“分项组合”，得到220xdxydxxdyydy即32103dxdxydy或者写成321()03dxxyy因此，方程的通解为321,3xxyyc这里c是任意常数.2用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。2.1积分因子的基本概念如果存在连续可微的函数(,)0xy，使得第6页共19页(,)(,)(,)(,)0xyMxydxxyNxydy（2.1）为一恰当微分方程，即存在函数，使MdxNdyd，（2.2）则称(,)xy为方程（2.1）的积分因子.因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当微分方程转化为恰当微分方程的求解问题.性质1只要方程（1.3）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，通解可能具有不同的形式.性质2方程（1.3）的任意两个积分因子1(,)xy和2(,)xy之间必有函数关系.性质3若方程（1.3）的有两个积分因子1(,)xy和2(,)xy，且12(,)(,)xyxy常数，则该方程的通积分为12(,)(,)xycxy.注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检查.2.2积分因子的存在的充要条件根据微分方程(,)(,)(,)(,)0xyMxydxxyNxydy为全微分方程的充要条件是[(,)(,)][(,)(,)]xyMxyxyNxyyx即(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)MxyxyNxyxyxyMxyxyNxyyyxx令(,)xy，(,)MxyM，(,)NxyN.整理上式即第7页共19页1()MNNMxyyx.(2.3)故(,)xy为方程（1.3）的积分因子的充要条件是(,)xy为方程（2.3）的解[4].2.3积分因子法解常微分方程积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件的形式各异.函数(,)xy为方程（1.3）的积分因子的充要条件是()()MNNMxyyx（1）(,)=()xyx有关的积分因子充要条件是()MNyxxN此时，积分因子为()()xdxxe.例2求2(2)(2)0xxyyedxyedy的积分因子及通解.解这里22,2xxMyyeNye,在xy平面上有连续偏导数，这时22,,xxMNyeeyx(不是恰当微分方程)因为2xMNyeyx所以212xxMNyeyxNye与x有关，积分因子为()dxxxee，将积分因子同时乘以方程两边得222(2)(2)0xxxxyeyedxyeedy即22()0xxdyeye第8页共19页因此，方程的通解为22xxyeyec这里c为任意常数.（2）(,)=()xyy有关的积分因子充要条件是()MNyxyM此时，积分因子为()()ydyye.例3求2()0xydxxydy的积分因子及通解解这里2,MxyNxy,在xy平面上有连续偏导数，这时,2,MNxxyx(不是恰当微分方程)因为MNxyx所以1MNxyxMxyy与y有关，积分因子为1()dxyyey，将积分因子同时乘以方程两边得222()0xydxxyydy即2221()02dxyydy因此，方程的通解为22212xyyc这里c为任意常数.（3）(,)=()xyxy有关的积分因子第9页共19页充要条件是()MNyxfxyNyMx此时，积分因子为()()(,)efxydxyuxy.例4求方程32(3)0ydxxxydy的积分因子及通解解这里32,3MyNxxy,在xy平面上有连续偏导数，这时221,19,MNxyyx(不是恰当微分方程)因为229MNxyyx333NyMxxy所以3MNyxNyMxxy与xy有关，积分因子为3()31()()dxyxyxyexy，将积分因子同时乘以方程两边得32323313()0xxydxdyxyxy此时是恰当微分方程.即221(3ln)02dyxy因此，方程的通解为2213ln2ycxy这里c为任意常数.（4）(,)=()xyxy有关的积分因子充要条件是第10页共19页()MNyxfxyNM此时，积分因子为()()(,)exydxyuxy.例5求方程2222(2)(2)0xxyydxxxyydy的积分因子及通解.解这里22222,2MxxyyNxxyy,在xy平面上有连续偏导数，这时4,4,MNxyxyyx(不是恰当微分方程)因为555()MNxyxyyx2222()NMxxyyxy所以25()5()MNxyyxNMxyxy与xy有关，积分因子为5()51()()dxyxyxyexy，将积分因子同时乘以方程两边得22225522()()0()()xxyyxxyydxdyxyxy此时是恰当微分方程.所以2252(,)()()xxyyuxydxyxy25()3()()()xyyxydxyxy3413()()()ydxdxyxyxy231()2()()yyxyxy第11页共19页又22'345(,)122()()()()uxyxyxxyyyyxyxyxy，那么'()0y则()0y，故231(,)2()()yuxyxyxy，因此，方程的通解为2312()()ycxyxy这里c为任意常数.(5)22,xyxy形式的积分因子[5]充要条件为22()2()MNyxfxyNxMy此时，积分因子为2222()()(,)exydxyuxy.例6求方程220xyydxxdy的积分因子及通解.解这里22Mxyy，Nx，