第4讲 效用函数与消费者选择

第三章消费者选择叶建亮浙江大学经济学院叶建亮：中级微观经济学效用最大化消费者效用最大化(UMP):解称为瓦尔拉斯需求函数。121122max(,)..uxxstpxpxw12(,,)ixppw若则12(,,)0ixppw12(,)iiiuxxMUpx叶建亮：中级微观经济学效用最大化是影子价格（shadowprice）：最优消费时的财富边际效用。121212121212121(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)[]EngelaggregationduxxxwxwMUMUdpppppp也就是说,消费者最优时，最后1单位的财富带来的效用与投在任何一种商品上的带来的效用是相等的。叶建亮：中级微观经济学效用最大化-例子Cobb-Douglas效用函数：Leontief效用函数：CES效用函数：11212(,)uxxAxx1212(1),wwxxpp1212(,)min{,}uxxaxbx121212,bwawxxbpapbpap11212(,)[(1)]uxxaxax1111111221121121,[1()()][1()()]ppaaapapwwxxpp叶建亮：中级微观经济学边际替代率对于消费者的选择而言，边际替代率是指，保持效用不变的情况下，一种商品消费的单位增加，可以替代的另一种商品消费的数量。12121212(,)(,)0uxxuxxdudxdxxx可以得到：212111,211222(,)/(,)/dxuxxxMUMRSdxuxxxMU即单位商品1的增加可以替代的商品2的数量取决于商品1的边际效用与商品2的边际效用之比叶建亮：中级微观经济学边际替代率边际替代弹性：消费比例对替代率的敏感程度。即边际替代率一个百分点的变化会引起消费比例的多少个百分点变化。2221111,21,21,21,2()/ln()0/lnxxxxxxdMRSMRSdMRS叶建亮：中级微观经济学边际替代弹性Cobb-Douglas效用函数：Leontief效用函数：CES效用函数：11212(,)uxxAxx1,211212(,)min{,}uxxaxbx11212(,)[(1)]uxxaxax1,201,211叶建亮：中级微观经济学边际替代率对照消费者最优选择条件，可以得到：111,222MUpMRSMUp如果上述等式不成立，则意味着一种商品的消费量过度了，其单位价格在该商品上消费的边际效用低于财富的边际效用，因此应该减少消费；而另一种商品的消费量不足，单位价格在该商品上的边际效用高于财富的边际效用，因此应该增加消费。叶建亮：中级微观经济学边际替代率x1x2ABA,B两点的边际替代率与价格之比的关系如何？叶建亮：中级微观经济学间接效用函数UMP问题的效用值表示为，称为间接效用函数“indirectutilityfunction”。之所以称为间接的，是因为这个效用函数的自变量已经不是直接消费的商品，而是价格和财富。对消费者而言，价格和财富并不是直接消费的对象，而是通过选择，间接的对应了某一效用。(.)((.))vwuwpxp叶建亮：中级微观经济学间接效用函数计算一个C-D效用函数的间接效用函数：由于：代入可得：11212(,)uxxAxx1212(1),wwxxpp121121112(,)(,)(1)[][](1)vpwuxxwwppwpp叶建亮：中级微观经济学支出最小化EMP:最小化解称为希克斯（补偿）需求函数-Hicks(orcompensation)demandfunction。112212min..(,)pxpxstuxxu12(,,)hppu叶建亮：中级微观经济学支出最小化计算“C-D”效用函数的希克斯需求函数。11212(,)uxxAxx121121(,,)[]1puhppuAp121221(,,)[]puhppuAp叶建亮：中级微观经济学支出最小化值函数称为支出函数“expenditurefunction”计算“C-D”效用函数的支出函数。1211122212(,,)(,,)(,,)eppuphppuphppu11212(,)uxxAxx1121211(,,)(1)ueppuppA叶建亮：中级微观经济学对偶对于一个最优的结果而言，UMP与EMP应该是等价的，也就是说：如果，如果。以C-D函数为例(,)(,)hpuxpw(,)(,)xpwhpu(,)wepu(,)uvpw1212(1),wwxxpp1112(1)(,)vpwAwpp11211(1)ueppA12112121[],[]1ppuuhhApAp叶建亮：中级微观经济学对偶若w=e，则：若u=v，则：11122111111[](1)(1)pppwuuxhppApA1121221222(1)(1)(1)[](1)pppwuuxhppApA111221111112111122122122(1)[][]1111(1)(1)[][]ppuwhwxApppppppuwhwxAppppp叶建亮：中级微观经济学对偶若x*=h，则：若h=x*，则：1121211111[](1)(1)pppwuuxhweppAA1121111112(1)[]1puwhxuwvApppp叶建亮：中级微观经济学希克斯需求与补偿需求法则希克斯需求函数的一个重要特征在于，其对价格的偏导意味着保持了效用水平不变，换句话说，当一个价格的变化引起希克斯需求变化时，这一消费需求的变化意味着是补偿消费者在价格变化中的效用变化，因此希克斯需求函数又称为补偿需求函数。这一变化过程与斯卢茨基补偿的思路是不同的，我们在下一小节讨论两者的关系，这里我们首先看看，对于希克斯需求函数而言，价格变化与需求变化的关系如何？叶建亮：中级微观经济学希克斯需求与补偿需求法则对于一个连续的效用函数，是其希克斯需求函数，则它满足补偿需求法则，即。(.)u(,)hpu()[(,)(,)]0pphpuhpu叶建亮：中级微观经济学相互关系已知支出函数，推导希克斯需求函数。(,)(,)llhpuepup112212111211211[(,)(,)](,,)(,)(,)(,)phpuphpueppupphpuhpuhpupppp1211121121211(,)(,)((,))((,))((,))0(,)(,)hpuhpuuhpuuhpuuhpuphphphpuhpupppp叶建亮：中级微观经济学相互关系已知间接效用函数求瓦尔拉斯需求函数。罗伊恒等式：对于，由于，对价格求导并在处取值，得到：根据且，则，因此：。(,)(,)(,)llvpwpxpwvpww(,)uvpw(,(,))vpepuuppp11(,(,))(,(,))(,)0vpepuvpepuepupwp(,)(,)llhpuepup(,)wepu(,)(,)hpuxpw11(,)(,)(,)vpwpxpwvpww叶建亮：中级微观经济学相互关系已知瓦尔拉斯需求函数，求希克斯需求函数斯卢茨基方程：(,)(,)(,)(,)lllkkkhpuxpwxpwxpwppw11211212112121211111212112121111211211(,,)(,,(,,))(,,(,,))(,,)(,,(,,))(,,(,,))(,)(,,)(,,)(,)hppuxppeppuxppeppueppuppwpxppeppuxppeppuhpupwxppwxppwxpwpw叶建亮：中级微观经济学斯卢茨基方程ppriceeffectsincomeeffectsp叶建亮：中级微观经济学斯卢茨基方程根据斯卢茨基方程，我们可以知道瓦尔拉斯需求函数和希克斯需求函数对价格的反映主要差别在于财富效应。如果财富效应为正，则希克斯需求曲线的斜率（绝对值）要大于瓦尔拉斯需求曲线，如果财富效应为负（意味着是劣等品），则希克斯需求曲线的斜率要小于瓦尔拉斯曲线。叶建亮：中级微观经济学斯卢茨基方程正常品劣等品lplp(,(,))lhpvpw(,)lxpwlp(,(,))lhpvpw(,)lxpwlp叶建亮：中级微观经济学斯卢茨基方程按照斯卢茨基方程，我们可以看到价格的变化对于希克斯需求而言，保证了他的效用不变，而与瓦尔拉斯需求相比，增加了财富效应。我们可以比较两种不同补偿思路的补偿额。对于从状态下，价格变动到，斯卢茨基补偿额，希克斯补偿额为显然，，即。(,)pwp(,)swpxpww(,)hwepuw(,)(,)epupxpwshww叶建亮：中级微观经济学斯卢茨基补偿与希克斯补偿pp希克斯补偿斯卢茨基补偿叶建亮：中级微观经济学思考题对于“CES”效用函数（1）计算其瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数；（2）计算其希克斯需求函数以及支出函数；（3）验证其对偶性。11212(,)[(1)]uxxaxax叶建亮：中级微观经济学