2014届高三数学(理)一轮《函数的单调性与最值》

考纲点击1.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性.2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大(小)值.考点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.定义当x1＜x2时，都有①________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有②________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．图象描述自左向右看图象是③______自左向右看图象是④______(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是⑤______或⑥______，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的⑦______.(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当⑧______时，f(x)在区间D上均为增函数；当⑨______时，f(x)在区间D上为减函数．2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有○10______；(2)存在x0∈I，使得⑪____________.(1)对于任意的x∈I，都有⑫______；(2)存在x0∈I，使得⑬____________.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值答案：①f(x1)＜f(x2)②f(x1)＞f(x2)③上升的④下降的⑤增函数⑥减函数⑦单调区间⑧f′(x)＞0⑨f′(x)＜0⑩f(x)≤M⑪f(x0)＝M⑫f(x)≥M⑬f(x0)＝M考点自测1.在区间(－∞，1)上是增函数的是()A．y＝(x－1)－2B．y＝1x－1C．y＝log2(1－x)D．y＝21x解析：y＝log2(1－x)，y＝21x，y＝1x－1在(－∞，1)上均为减函数，y＝(x－1)－2在区间(－∞，1)上是增函数，故应选A.答案：A2．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由已知得：|1x|＞1⇒－1＜x＜0或0＜x＜1，故选C.答案：C3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是()A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)解析：令u＝(x＋1)(x－3)，当x＞3或x＜－1时，u为增函数，而f(x)的定义域为(3，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间是(3，＋∞)．故选A.答案：A4．若函数f(x)＝12x＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是()A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值解析：由于u(x)＝2x＋1在R上递增且大于1，则f(x)＝12x＋1在R上递减，无最小值，故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是__________．解析：①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝3－aa必在x＝3的右边，即3－aa≥3，故0＜a≤34；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是0，34.答案：0，34疑点清源1.函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联接，也不能用“或”联接.题型探究题型一函数单调性的判定与证明例1证明f(x)＝ax＋a－x在(0，＋∞)上是增函数(这里a＞0且a≠1)．证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋a－x1)－(ax2＋a－x2)＝(ax1－ax2)＋1ax1－1ax2＝(ax1－ax2)＋ax2－ax1ax1＋x2＝ax1－ax2ax1＋x2－1ax1＋x2.∵0＜x1＜x2，∴x1＋x2＞0，∴ax1＋x2＞0.∵0＜x1＜x2，∴x1＋x2＞0，∴ax1＋x2＞0.(1)当a＞1时，ax1＋x2＞1，ax1＜ax2，∴ax1＋x2－1＞0，ax1－ax2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0；(2)当0＜a＜1时，ax1＋x2＜1，ax1＞ax2，∴ax1＋x2－1＜0，ax1－ax2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.综上所述，对于任何a＞0且a≠1，均有f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．点评：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可以利用导数解之．变式探究1已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)．证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证明：方法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1且ax1＞0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0，又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1－x1－2x2＋1x1＋1x2＋1＝3x2－x1x1＋1x2＋1＞0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＞0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．方法二：f(x)＝ax＋1－3x＋1(a＞1)，求导数得f′(x)＝axlna＋3x＋12，∵a＞1，∴当x＞－1时，axlna＞0，3x＋12＞0，f′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立，则f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．方法三：∵a＞1，∴y＝ax为增函数，又y＝x－2x＋1＝1＋－3x＋1，在(－1，＋∞)上也是增函数．∴y＝ax＋x－2x＋1在(－1，＋∞)上为增函数.题型二求函数的单调区间例2求函数y＝log3(4x－x2)的单调区间．解析：由4x－x2＞0解得函数的定义域是(0,4)．令t＝4x－x2，由于t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，所以t的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]，又因为y＝log3t在(0，＋∞)上是增函数，所以函数的单调递增区间是(0,2]，递减区间是[2,4)．点评：解决这类问题时，最容易忽视函数的定义域，得出单调递增区间是(－∞，2]，递减区间是[2，＋∞)的错误结果．所以一定要先求出函数的定义域，再求单调区间，其次对于有指数函数和对数函数参与的复合函数，还要注意对底数进行研究，注意分类讨论．变式探究2求函数f(x)＝log13(x2－3)的单调区间．解析：要使函数有意义，当且仅当u＝x2－3＞0，即x＞3或x＜－3.又x∈(3，＋∞)时，u是x的增函数；x∈(－∞，－3)时，u是x的减函数．而u＞0时，y＝log13u是减函数，故函数y＝log13(x2－3)的单调减区间是(3，＋∞)，单调增区间是(－∞，－3).题型三分段函数的单调性例3已知f(x)＝3a－1x＋4a，x≤1，logax，x＞1)是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是()A．(0,1)B.0，13C.17，13D.17，1解析：据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需3a－1＜0，0＜a＜1，3a－1×1＋4a≥loga1，即a＜13，0＜a＜1，7a－1≥0，∴17≤a＜13，因此a的取值范围为17，13，故选C.答案：C点评：本题在解答中，容易只列出关于参数a的前两个条件：3a－1＜0且0＜a＜1，从而得出a∈0，13的错误结果．这是没有注意到函数为分段函数，除了在每一区间上都递减外，还应使得函数在(－∞，1]上的最小值不小于[1，＋∞)上的最大值．变式探究3若函数f(x)＝|x－2|·(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是__________．解析：由于f(x)＝|x－2|·(x－4)＝x2－6x＋8，x≥2，－x2＋6x－8，x＜2，在坐标系中画出函数f(x)的图象，如图，则可得函数f(x)的递减区间是[2,3]，而函数f(x)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，所以应有2≤5a，5a＜4a＋1，4a＋1≤3，解得25≤a≤12.答案：25≤a≤12题型四函数的最值例4已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝12时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．解析：(1)当a＝4时，f(x)＝x＋4x＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．∴f(x)min＝f(1)＝72.(3)函数f(x)＝x＋ax＋2在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．若a＞1，即a＞1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min＝f(a)＝2a＋2.若a≤1，即0＜a≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.点评：求函数在某区间上的最值，通常先判断函数在该区间上的单调性．当函数或区间中含有字母时，要对字母加以讨论，以确定函数的单调性．变式探究4已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)，(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值．解析：(1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，∵f(x2)－f(x1)＝1a－1x2－1a－1x1＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f(x)在12，2上的值域是12，2，又f(x)在12，2上单调递增，∴f12＝12，f(2)＝2.∴易得a＝25.题型五抽象函数的单调性例5函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.解析：(1)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0.∴f(x2)＞f(x1)．即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴原不等式可化为f(3m2－m－2)＜f(2)，∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2＜2，解得－1＜m＜43，故解集为－1，43.点评：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)＜f(x2)⇔f(x1)－f(x2)＜0，若函数是增函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函