2014届高三数学(理)一轮《变化率与导数、导数的计算》

2．1变化率与导数、导数的计算考纲点击1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．考点梳理1．平均变化率及瞬时变化率(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：ΔyΔx＝①_____________.(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：limΔx→0ΔyΔx＝②________.2．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______，记作y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④__________________.3．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________.4．基本初等函数的导数公式(1)C′＝⑦______(C为常数)．(2)(xn)′＝⑧__________(n∈Q*)．(3)(sinx)′＝⑨______，(cosx)′＝⑩______.(4)(ex)′＝⑪______，(ax)′＝⑫______.(5)(lnx)′＝⑬______，(logax)′＝⑭______.5．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮__________.(2)[f(x)·g(x)]′＝⑯______________________.(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．答案：①fx2－fx1x2－x1②limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx③瞬时变化率④limΔx→0fx＋Δx－fxΔx⑤曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0)⑦0⑧nxn－1⑨cosx⑩－sinx⑪ex⑫axlna⑬1x⑭1xlna⑮f′(x)±g′(x)⑯f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)考点自测1.下列求导运算正确的是()A．(x＋1x)′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：由导数的运算法则以及常用函数的导数公式易得．答案：B2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.答案：C3．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数解析：由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝c(c为常数)．答案：C4．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为__________．解析：∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：y＝2x＋15．曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线与x轴，直线x＝π所围成的三角形的面积为__________．解析：曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线为y＝－x，故所围成的三角形的面积为π22.答案：π22疑点清源1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.题型探究题型一利用导数定义求函数的导数例1用导数定义求函数y＝f(x)＝x在x＝1处的导数．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴limΔx→011＋Δx＋1＝12.∴f′(1)＝12.点评：利用导数定义求函数的导数应分三步：①求函数增量Δy；②求平均变化率ΔyΔx；③求极限limΔx→0ΔyΔx.本题的关键是对ΔyΔx的变形．变式探究1利用导数定义求函数y＝x2＋1在x＝x0处的导数．解析：∵Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1＝x0＋Δx2＋1－x20－1x0＋Δx2＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋Δx2x0＋Δx2＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋Δxx0＋Δx2＋1＋x20＋1.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x0＋Δxx0＋Δx2＋1＋x20＋1＝2x02x20＋1＝x0x20＋1x20＋1.题型二利用导数公式及运算法则求导数例2求下列函数的导数(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x＋x5＋sinxx2；(3)y＝－sinx21－2cos2x4.解析：(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以，y′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′＝18x2＋4x－3.(3)因为y＝－sinx21－2cos2x4＝sinx22cos2x4－1＝sinx2cosx2＝12sinx，所以，y′＝12cosx.点评：导数运算时应注意的问题：①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式探究2求下列函数的导数(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝11－x＋11＋x.解析：(1)方法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.方法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11(2)y＝11－x＋11＋x＝1＋x＋1－x1－x1＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.题型三导数的几何意义例3已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解析：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.点评：①解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．②解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．变式探究3已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解析：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)即y＝13x－32.(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为：y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16.整理得x30＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0.又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴斜率k＝4.∴设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1，y0＝－14，或x0＝－1，y0＝－18.切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.归纳总结•方法与技巧1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与[f(x0)]′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．•失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.新题速递1.(2012·辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为