2014届高三数学(理)一轮专题复习 指数函数及其性质(二)

2.1.2(二)2.1.2指数函数及其性质(二)【学习要求】1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性、奇偶性；3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．【学法指导】通过指数函数性质的应用，了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养观察问题，分析问题的能力.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)填一填·知识要点、记下疑难点1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断．单调图象中间值本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)填一填·知识要点、记下疑难点2.简单指数不等式的解法(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．3.当a＞1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性.单调性相同相反单调性本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效探究点一指数函数底数大小与图象的关系导引指数函数y＝ax(a0且a≠1)，当底数越大时，函数图象间有怎样的关系？问题1观察同一直角坐标系中函数①y＝12x；②y＝13x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？答(1)当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．(2)当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减速度越快．(3)底互为倒数时，图象关于y轴对称．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效问题2当ab0(a≠1且b≠1)时，对任意一个实数x0.什么时候？什么时候？什么时候？00xxab＞00xxab＜00xxab00xxab＞00xxab＜00xxab答由图象可知：当ab1时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.当1ab0时，x0∈(0，＋∞)，；00xxab＞00xxab＞00xxab＜00xxab＜00xxab00xxabx0∈(－∞，0)，；x0＝0，.综上可知：对ab0(a≠1且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效小结x0为正数时，不论底数大于1还是大于0且小于1，底数大的指数函数对应的函数值大；当x0为负数时，底数大的指数函数对应的函数值小．因此对于几个不同的指数函数，当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底数的大小，即过与y轴平行的直线与指数函数图象的交点向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效例1右图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc解析在y轴的右侧作y轴的平行线，过四个交点向y轴投影，投影点在上面的底数大，于是得答案B.B小结对于当自变量取同一值，比较指数函数底数大小的题目，只要记准函数①y＝12x，②y＝13x，③y＝3x，④y＝2x的图象的位置，加以类比，即可得出答案．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1比较下列各组中两个数的大小：(1)542.3和452.3；(2)0.6－2和.234()3解(1)452.3＝54－2.3；∵2.3－2.3，∴542.354－2.3，即542.3452.3.(2)由指数函数的性质知0.6－21，234()13＜∴0.6－2.234()3本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二指数形式的函数的单调性、奇偶性例2设a是实数，f(x)＝a－22x＋1(x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数．证明设x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝12122(22).(21)(21)xxxx2221x12()21xa22()21xa1221x由于指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1x2，所以，即－0，又由2x0得＋10,＋10，12x22x22x12x12x22x所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效小结此类型题目单调性证明过程中，在对差式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2用函数单调性定义证明a＞1时，y＝ax是增函数．证明设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2＝x1＋h(h＞0)，则有21111(1),xxxhxxhaaaaaa∵a＞1，h＞0，∴＞0，ah＞1，1xa∴＞0，即＜21xxaa1xa2xa故y＝ax(a＞1)为R上的增函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效探究点三指数型函数在实际中的应用例3截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?解设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，1999年底，我国人口约为13亿；经过1年(即2000年)人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；……本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效经过x年人口数为13(1＋1%)x亿；则y＝13(1＋1%)x.当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答经过20年后，我国人口数最多为16亿．小结类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k≠0，a1且a≠1)的函数称为指数型函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3某市2000年国民生产总值为20亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国民生产总值可达多少亿元(精确到0.01亿元)?解设该市国民生产总值在2000年后的第x年为y亿元，则：第1年：y＝20＋20×8%＝20(1＋8%)＝20×1.08，第2年：y＝20×1.08＋20×1.08×8%＝20×1.082，第x年：y＝20×1.08x(x∈N,1≤x≤10)，第10年：y＝20×1.0810≈43.18(亿元)．答2010年该市国民生产总值可达43.18亿元.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a120.5130.5140.5解析∵y＝0.5x在R上是减函数，12＞13＞14，∴＜＜.120.5130.5140.5B本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处2.函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)解析∵4x0，∴0≤16－4x16，∴16－4x∈[0,4)．C3.设0＜a＜1，则关于x的不等式＞的解集为_________．2232xxa2223xxa2223xxa2232xxa解析∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，又∵＞，∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.(1，＋∞)本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论．(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练