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本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.13.1.1方程的根与函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系；2.掌握函数零点存在性判定定理；3.能结合图象求解零点问题．【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3.1.11.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x).f(x)＝0零点有实数根有零点与x轴有交点本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3.1.13.函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根．连续不断f(a)·f(b)0有零点f(c)＝0本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1问题情境：下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1探究点一函数零点的定义问题1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1;(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点答本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1问题2从你所列的表中你能得出什么结论？答方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．问题3问题2得出的结论对一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)也成立吗？你能根据判别式的不同情况也用列表的形式加以说明吗？答问题2中得出的结论在一般一元二次函数与一元二次方程间仍然成立，如下表所示：本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象函数的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)没有交点本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1所以一元二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根．问题4我们把使函数f(x)＝x2－2x－3的值等于零的实数－1,3叫做函数f(x)＝x2－2x－3的零点．那么你能给函数y＝f(x)的零点下个定义吗？答对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．问题5函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？答函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1问题6你能说出函数①y＝lgx；②y＝lg(x＋1);③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？答①y＝lgx的零点是x＝1；②y＝lg(x＋1)的零点是x＝0；③y＝2x没有零点；④y＝2x－2的零点是x＝1.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1例1已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则函数f(x)的零点个数是()A．0B．1C．2D．不确定解析因ac0，所以Δ＝b2－4ac0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.C小结函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1跟踪训练1若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，－12B．0，12C．0,2D．2，－12解析∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.A本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1探究点二函数零点存在性定理问题1观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现这个二次函数在区间[－2,1]上有零点x＝－1，而f(－2)＞0，f(1)＜0，即f(－2)·f(1)＜0.二次函数在区间[2,4]上有零点x＝3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)·f(4)＜0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1问题2如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述定理成立吗？答不一定成立，由右图可知．问题3反过来，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)0是否一定成立？答不一定成立，由右图可知．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1问题4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．小结函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)0.也就是说上述定理不可逆．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1例2求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数．解用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象如下：x123456789f(x)－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由上表和图象可知f(2)0，f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1小结本题不用计算列表、画图象也可得到结论：方法一寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)＝ln2－2＝ln2－lne20，f(3)＝ln3＋00，所以f(2)·f(3)0.方法二通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图象交点的个数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1跟踪训练2根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－10，f(0)＝1－20，f(1)＝2.72－30，f(2)＝7.40－4＝3.400.由于f(1)·f(2)0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．C本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋lg2－20，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数．故f(x)有且只有一个零点．方法二在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1小结判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象判定函数零点的个数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.1.1跟踪训练3已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．解令f(x)＝|x2－6x＋8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x－3)2－1|，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a＜0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；当a＞1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.11.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析Δ＝m2－40，m2或m－2，应选C.C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.12.若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个解析由于函数y＝f(x)在R上递增，所以函数的图象最多与x轴有一个交点，即函数y＝f(x)的零点至多有一个．B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.13.函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析∵f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝e0－2＝－10，f(1)＝e1＋1－2＝e－10，∴f(0)·f(1)0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.11.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.本课时栏目开关填一填研一研练一练