2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《同角三角函数基本关系与诱导公式》

3．2同角三角函数基本关系与诱导公式考纲点击1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.考点梳理1.同角三角函数的基本关系式基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________.2．诱导公式即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成⑲______时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．答案：①sin2α＋cos2α②sinαcosα③sinα④－sinα⑤－sinα⑥sinα⑦cosα⑧cosα⑨cosα⑩－cosα⑪cosα⑫－cosα⑬sinα⑭－sinα⑮tanα⑯tanα⑰－tanα⑱－tanα⑲锐角考点自测1.sin210°等于()A.32B．－32C.12D．－12解析：sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.答案：D2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案：D3．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－35B．－15C.15D.35解析：∵sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×15－1＝－35.答案：A4．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是()A．－55B.55C.255D．－255解析：∵α∈π，32π，∴sinα＜0，排除B、C.由tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－55.答案：A5．若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sin(θ－5π)·sin3π2－θ等于()A.43B．±310C.310D．－310解析：由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，可得tanθ＝3，∴sin(θ－5π)sin32π－θ＝(－sinθ)(－cosθ)＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝310.答案：C疑点清源1.同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如：∵sinα＝yr，cosα＝xr，∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2r2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.题型探究题型一同角三角函数的基本关系的应用例1已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．解析：(1)方法一，联立方程sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得cosα＝15－sinα.将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形的内角，∴sinα＝45，cosα＝－35.∴tanα＝－43.方法二，∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125.∴2sinαcosα＝－2425.∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＞0.∴sinα－cosα＝75.由sinα＋cosα＝15，sinα－cosα＝75，得sinα＝45，cosα＝－35.∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.点评：①对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；②关于sinα，cosα的齐次式，注意化为关于tanα的式子．变式探究1已知sinθ，cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，3π2＜θ＜2π，求θ.解析：sinθ＋cosθ＝m，sinθ·cosθ＝2m－14，Δ＝16m2－2m＋1≥0，代入(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，得m＝1±32，又3π2＜θ＜2π，∴sinθ·cosθ＝2m－14＜0，即m＝1－32，∴sinθ＋cosθ＝m＝1－32，sinθ·cosθ＝－34，又∵3π2＜θ＜2π，∴sinθ＝－32，cosθ＝12，∴θ＝5π3.题型二诱导公式的应用例2已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α；(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值．解析：(1)f(α)＝sinα·cosα·－tanαtanαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα，∴sinα＝－15，cosα＝－52－125＝－256，∴f(α)＝256.点评：熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应用原则是：角化正、大化小、化到锐角为终了．变式探究2(1)设f(a)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，求f－236π的值．(2)化简sinnπ＋23π·cosnπ＋43π(n∈Z)．解析：(1)∵f(a)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(2)当n＝2k(k∈Z)时，原式＝sin2kπ＋23π·cos2kπ＋43π＝sin23π·cos43π＝sinπ3·－cosπ3＝32×－12＝－34.当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝sin2k＋1π＋23π·cos2k＋1π＋43π＝sinπ＋23π·cosπ＋43π＝－sin23π·cosπ3＝－sinπ3·cosπ3＝－32×12＝－34.∴原式＝－34.题型三同角三角函数基本关系和诱导公式的综合例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解析：由已知，得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB.②①2＋②2，得2cos2A＝1，得cosA＝±22.①当cosA＝22时，cosB＝32，又A、B是三角形的内角，∴A＝π4，B＝π6.∴C＝π－(A＋B)＝712π.当cosA＝－22时，cosB＝－32.又A、B是三角形的内角，∴A＝34π，B＝56π，不符合题意．综上，A＝π4，B＝π6，C＝712π.点评：已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式．变式探究3在△ABC中，sin(π－A)－cos(π－A)＝15.(1)求sinA·cosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解析：(1)∵sinA＋cosA＝15，∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，∴sinA·cosA＝－1225.(2)由(1)sinAcosA＝－1225＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2425＝4925，又sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝75.②∴由①，②可得sinA＝45，cosA＝－35，∴tanA＝sinAcosA＝45－35＝－43.归纳总结•方法与技巧1．同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．2．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．3．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法主要利用公式tanx＝sinxcosx化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ＝tanπ4＝….注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．4．证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简：(2)左右归一法，使两端化异为同；把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明．5．解三角函数问题时常用方法有：代入法、消元法、转化化归法、方程与分类讨论思想方法等．6．已知一个角的某一函数值，求该角的其它三角函数值时，可以利用构造直角三角形，结合该角的范围求值．•失误与防范1．利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个同角基本关系sin2α＋cos2α＝1和tanα＝sinαcosα，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握．尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．2．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．3．正确记忆0°～360°角的特殊角的三角函数值，特别是以弧度出现的三角函数.新题速递1.(2013·泰安模拟)tan8π3的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析：tan8π3＝tan2π＋2π3＝tan2π3＝－3.答案：D2．(2013·济宁检测)已知sin(α－π)＝23，且α∈－π2，0，则tanα等于()A.255B．－255C.52D．－52解析：由sin(α－π)＝23，得sinα＝－23，∵α∈－π2，0，∴cosα＝53，∴t