2010年浙江省教育考试院高考测试样卷(数学理)

数学测试卷(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A,B互斥,那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A,B相互独立,那么其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高P(A·B)=P(A)·P(B)棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么nV=31Sh次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高Pn(k)=Cknpk(1－p)n-k(k=0,1,2,…,n)球的表面积公式棱台的体积公式S=4πR2)2211(31SSSShV球的体积公式其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,V=34πR3h表示棱台的高其中R表示球的半径一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)设非空集合A,B满足AB,则(A)x0∈A,使得x0B(B)x∈A,有x∈B(C)x0∈B,使得x0A(D)x∈B,有x∈A(2)在二项式(x－21x)6的展开式中,常数项是(A)－10(B)－15(C)10(D)15(3)已知a,b是实数,则“a=b”是“a3=b3”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(4)若复数z与其共轭复数z满足:|z|=2,z+z=2,则(A)z2－2z＋2＝0(B)z2－2z－2＝0(C)2z2－2z＋1＝0(D)2z2－2z－1＝0(5)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是(A)4(B)5(C)6(D)7(6)设向量a,b满足:1||a,2||b,0)(baa,开始k=0S=1000iS0?k＝k＋1S=S－2k是输出k结束否(第5题)则a与b的夹角是(A)30(B)60(C)90(D)120(7)在Rt△ABC中,∠A＝90,∠B＝60,AB=1.若圆O的圆心在直角边AC上,且与AB和BC所在的直线都相切,则圆O的半径是(A)32(B)21(C)33(D)23(8)若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是(A)21cm3(B)32cm3(C)65cm3(D)87cm3(9)过双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点F作圆222ayx的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是(A)2(B)3(C)2(D)5(10)在直角坐标系中,如果两点A(a,b),B(－a,－b)在函数)(xfy的图象上,那么称[A,B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点([A,B]与[B,A]看作一组).函数0),1(log,0,2cos)(4xxxxxg关于原点的中心对称点的组数为(A)1(B)2(C)3(D)4非选择题部分(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。(11)若实数yx,满足不等式组,083,03,02yxyxyx则3x－y的最小值是________.(12)若等比数列{an}的前n项和Sn满足:an＋1＝a1Sn＋1(n∈N*),则a1=________.(13)已知a0≠0.11正视图侧视图1俯视图1(第8题)①设方程a0x＋a1＝0的1个根是x1,则x1＝－01aa；②设方程a0x2＋a1x＋a2＝0的2个根是x1,x2,则x1x2＝02aa；③设方程a0x3＋a1x2＋a2x＋a3＝0的3个根是x1,x2,x3,则x1x2x3＝－03aa；④设方程a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝0的4个根是x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4＝04aa；……由以上结论,推测出一般的结论:设方程a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋…＋an-1x＋an＝0的n个根是x1,x2,…,xn,则x1x2…xn＝________.(14)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1:422yx交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧⌒AB上,则圆C2的半径的最大值是________.(15)如图,某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45,则这座电视发射塔的高度CD为________米.(16)将5人分成3组,每组至多2人,则不同的分组方式种数是________.(17)若函数1),2(log2,1,)24()(322xxaxaxaxf在区间),0(上单调递增,则实数a的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(18)(本题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足AaCbBccos4coscos.(Ⅰ)求Acos的值;ks5u(Ⅱ)若△ABC的面积是15,求ACAB的值.ABCD(第15题)(19)(本题满分14分)在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.(Ⅰ)求取出的数各位数字互不相同的概率;(Ⅱ)记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212,则1).求随机变量的分布列及其数学期望E.(20)(本题满分15分)如图,在平面内直线EF与线段AB相交于C点,∠BCF＝30,且AC=CB=4,将此平面沿直线EF折成60的二面角－EF－,BP⊥平面,点P为垂足.(Ⅰ)求△ACP的面积;(Ⅱ)求异面直线AB与EF所成角的正切值.(21)(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1).(Ⅰ)求抛物线C的方程;ks5u(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(22)(本题满分14分)已知函数axaxaxaxf4)125()49()21()(23(Ra).(Ⅰ)当a=0时,求函数)(xf的单调递增区间;(Ⅱ)若函数)(xf在区间[0,2]上的最大值为2,求a的取值范围.(第20题)BAFCCBPAEEFxyPOQF(第21题)数学测试卷(理科)答案及评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分(第13题除外)。五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分1分。一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。(1)B(2)D(3)C(4)A(5)D(6)D(7)C(8)C(9)A(10)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。(11)1(12)1(13)(－1)n0aan((－1)n与0aan每对一个得2分)(14)1(15)169(16)15(17)[1,2)三、解答题:本大题共5小题,满分72分。(18)本题主要考查正弦、余弦定理,三角公式变换,三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)解:利用正弦定理CcBbAasinsinsin,得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA,sin(B+C)=4sinAcosA,即sinA=4cosAsinA,所以cosA=41.……………………(7分)(Ⅱ)解:由(I),得sinA=415,由题意,得21ABCSbcsinA＝15,所以bc=8,因此ACAB2.…………………(14分)(19)本题主要考查排列组合,随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括能力。满分14分。(Ⅰ)解:记“取出的数各位数字互不相同”为事件B,则P(B)＝25125A335.…………………(5分)(Ⅱ)解:随机变量的取值为0,1,2.的分布列是012P125271257412524…………………(11分)所以的数学期望E＝0×12527+1×12574+2×12524=125122.…………………(14分)(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分15分。方法一:(Ⅰ)解:如图,在平面内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,连结BM,则∠BMP为二面角－EF－的平面角.以点P为坐标原点,以直线PM为x轴,射线PB为z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.在Rt△BMC中,由∠BCM＝30,CB=4,得CM=32,BM=2.在Rt△BMP中,由∠BMP＝60,BM=2,得MP=1,BP=3.故P(0,0,0),B(0,0,3),C(－1,－32,0),M(－1,0,0).由∠ACM＝150,得ks5uxyCBPAEMzFA(1,－43,0).所以CP=(1,32,0),CA=(2,－32,0),则＝CACP－10,cos∠ACP=－1325,sin∠ACP=13233.因此S△ACP＝33.…………………(7分)(Ⅱ)解:BA＝(1,－43,－3),MC＝(0,－23,0),MCBA24,cosMCBA,=1332,所以AB与EF所成角的正切值为63.…………………(15分)方法二:(Ⅰ)解:如图,在平面内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,连结BM,则∠BMP为二面角－EF－的平面角.在Rt△BMC中,由∠BCM＝30,CB=4,得CM=32,BM=2.在Rt△BMP中,由∠BMP＝60,BM=2,得MP=1.在Rt△CMP中,由CM=32,MP=1,得CP=13,cos∠PCM＝1332,sin∠PCM=131.CBPAEMQF故sin∠ACP=sin(150－∠PCM)＝13233.所以S△ACP＝33.…………………(7分)(Ⅱ)解:如图,过点A作AQ∥EF,交MP于点Q,则∠BAQ是AB与EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ.ks5u在△BMQ中,由∠BMQ＝60,BM＝MQ＝2,得BQ=2.在Rt△BAQ中,由AQ＝AC30cos＋CM＝43,BQ=2,得tan∠BAQ=63AQBQ.因此AB与EF所成角的正切值为63.…………………(15分)(21)本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。(Ⅰ)解:设抛物线C的方程是x2=ay,则14a,即a=4.故所求抛物线C的方程为x2=4y.…………………(5分)(Ⅱ)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则抛物线C在点P处的切线方程是112yxxy,直线PQ的方程是1122yxxy.将上式代入抛物线C的方程,得0)2(48112yxxx,故x1+x2=18x,x1x2=－8－4y1,所以x2=18x－x1,y2=14y+y1+4.而FP＝(x1,y1－1),FQ＝(x2,y2－1),FPFQ＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝－4(2+y1)+y1(14y+y1+4)－(14y+2y1+4)+1＝21y－2y1－14y－7＝(21y＋2y1＋1)－4(11y+y1+2)＝(y1＋1)2－121)1(4yy＝1211)1)(4(yyy＝0,故y1＝4,此时,点P的坐标是(±4,4).经检