可逆矩阵及求逆矩阵的方法

可逆矩阵及求逆矩阵的方法时间：2015-11-02作者：shelly论文导读：引理1可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说，可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。关键词：伴随矩阵，初等变换，逆矩阵方法一伴随矩阵法定义1设=是级方阵，用表示的元的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵，记作若0，并且当可逆时有这种方法在理论上很有用，在实际计算中常用于2级或3级矩阵。例：用伴随矩阵法求解：因为，所以可逆，而,，=方法二二阶矩阵的公式求逆法设=（其中,即0），则==这个公式的推导思想是从这个重要结论出发，构造一个矩阵，去左乘使其等于单位矩阵，即若，那么。论文检测。论文检测。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵，我们称为二阶矩阵的公式求逆法。方法三初等变换法这是一种最常用的一种方法，为了看出如何用初等变换法求逆矩阵，先证一个引理；引理1可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说，可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。即，同理有例：用初等变换法求所以=方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若级矩阵可逆，则，于是的第列是线性方程组的的解，因此我们可以去解线性方程组，其中然后把所得的解的公共式中分别用1，0，…,0；0，1，…,0；…；0，…,0，变换法求逆矩阵稍微简单些。方法五分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时，即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大，如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则可减少计算量。用分块求逆法解题的具体步骤为：（1）根据所给矩阵的特点分块为=（2）选择适当的分块求逆公式常用的分块求逆公式有：设均可逆，则1：2：3：4：5：6：7：8：例:设四阶方阵试求解:设则是分块矩阵，易得故方法六利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵哈密尔顿—凯莱定理：设是数域P上一个级矩阵，f=是的特征多项式，则f()=设f()=其中n=当可逆时，0，即n0由=0可得例设=试用哈密尔顿—凯莱定理求解：f=====方法七利用最小多项式求逆矩阵定义：以n阶矩阵为根的多项式中，其中次数最低的首项为1的以为根的多项式，称为的最小多项式。引理2设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充分必要条件是整除。由上述引理和定义及哈密尔顿—凯莱定理知：非退化矩阵的最小多项式的常数项非零，即设的最小多项式为，则有常数项。又由于，则得故=下面举例说明此法的应用，但此法并不常用。论文检测。例.求=的逆矩阵。解：因为的特征多项式为：，所以的最小多项式为的因式，显然，而，因此的最小多项式为=，即，所以由=得=【参考文献】[1]张新发.初等变换的关系与可逆矩阵的分解[J].大学数学,2003,19(2):82-85.[2]钱吉林.高等代数题解精粹（第二版）[M].大连：大连理工大学出版社,2000,137[3]骈俊生.分块矩阵的初等变换及应用[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2004,(3)：44-49.[4]田代军.线性代数题解指南[M].天津：天津大学出版社,2004,79.[5]张海涛.逆矩阵的求法[J].大同职业技术学院学报,2004,(2)：36-4.