重积分曲线曲面积分总结

1.理解二重积分、三重积分的概念,重积分2.掌握二重积分的计算法(直角坐标、极3.会用重积分求一些几何量与物理量.了解重积分的性质.了解三重积分的计算法（直角坐标、坐标)，柱面坐标、球面坐标).其中iiniiDfyxfI),(limd),(10二重积分是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义二重积分I表示以D为底,柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶,侧面是定义1.平面上有界闭区域D上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分2.当连续函数,0),(时yxfz以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶一般情形,Dyxfd),(xOy平面上方的曲顶柱体体积减xOy平面下方的曲顶柱体体积.物理意义3.若平面薄片占有平面内有界闭区域D,),,(yx则它的质量M为:它的面密度为连续函数.d),(DyxM性质1(线性运算性质)为常数,则(重积分与定积分有类似的性质)Dyxgyxfd)],(),([、设DDyxgyxfd),(d),(4、二重积分的性质性质2将区域D分为两个子域Dyxfd),()(21DDD(对积分区域的可加性质)1d),(Dyxf2d),(Dyxf,,21DD以1为高的性质3(几何应用)若为D的面积Dd既可看成是以D为底,柱体体积.Dd1Dd又可看成是D的面积.注Dyxfd),(特殊地性质4(保序性)),,(),(yxgyxf设,),(Dyx则Dyxgd),(Dyxfd),(Dyxfd),(DMyxfmd),(性质5(估值性质),),(Myxfm设σ为D的面积,则性质6(二重积分中值定理)),,(Dyxfd),(体体积等于以D为底),(f以几何意义域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得),(f,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱为高的平顶柱体体积.设f(x,y)在闭区(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.Dyxyxfdd),(若D关于,dd),(21yxyxfD则x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即,0,),(),,(),(Dyxyxfyxff(x,y)对y为偶函数,即,),(),,(),(Dyxyxfyxf则Dyxyxfdd),(其中};0{1yDD5、对称区域上奇偶函数的积分性质(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.Dyxyxfdd),(若D关于,dd),(21yxyxfD则y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即,0,),(),,(),(Dyxyxfyxff(x,y)对x为偶函数,即,),(),,(),(Dyxyxfyxf则Dyxyxfdd),(其中};0{1xDD)},()(,),({21xyxbxayxD其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaD在区间[a,b]上连续.(1)直角坐标系xOyDyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(d先对y后对x的二次积分6、二重积分计算)},()(,),({21yxydycyxD其中函数、)(1y)(2y在区间[c,d]上连续.Dyxfd),(dcyyxyxfy)()(21d),(d先对x后对y的二次积分.xOyD)(2yxcd)(1yx交换积分次序的步骤(1)利用已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;Dyxfd),(ddrr极坐标系中的面积元素Drrrrfdd)sin,cos((2)极坐标系)(1r)(2rOADθ)}()(,),({21ryxD其中函数.],[)()(21上连续在区间、d)(2)(1;d)sin,cos(rrrrfD;d)sin,cos(d)(0rrrrfDyxfd),(AO)(r)}(0,),({ryxD其中函数.],[)(上连续在区间)(0π20d)sin,cos(drrrrf极坐标系下区域的面积.ddDrrDoA)(rθ)}(0,π20),({ryxDDyxfd),(其中函数.],[)(上连续在区间2、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．时当Vdvzyxf,1),,(3、三重积分的性质类似于二重积分的性质．1、三重积分的定义dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10.三重积分三重积分vzyxfd),,(0为f的偶函数z对称性质),,(),,(zyxfzyxf则称f关于变量z的奇函数.vzyxfd),,(则,坐标面对称xOy关于的奇函数z为f21Ω若域xOy在为其中1坐标面的上半部区域.)),,(),,((zyxfzyxf(偶)vzyxfd),,(0为f的偶函数xvzyxfd),,(则,坐标面对称yOz关于的奇函数x为f21Ω若域yOz在为其中1坐标面的前半部区域.vzyxfd),,(0为f的偶函数yvzyxfd),,(则,坐标面对称zOx关于的奇函数y为f21Ω若域zOx在为其中1坐标面的右半部区域.4、三重积分的计算(１)直角坐标xyzoD1z2z),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy),(yx)(2xyyDyxzyxzVdzzyxfdxdydxdydzzyxf),(),(21),,(),,(baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx)()(),(),(2121),,((a)“先一后二法”.,结果类似平面上时平面或投影到当yzzxV()b“先二后一法”－－－截面法Vdxdydzzyxf),,(21),,(ccDzdxdyzyxfdz.,,有类似的结果轴投影时轴向当yxV.,sin,coszzryrx(２)柱面坐标.),sin,cos(),,(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv21(,)(,)(cos,sin,)dzzfrrzrz21()()drrrd注通常是先积再积后积r、、z..cos,sinsin,cossinrzryrx,sin2ddrdrdvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf(３)球面坐标通常是注、先积r、再积.后积5、二重积分的应用(1)体积的体积为之间直柱体与区域在曲面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设S曲面的方程为：).,(yxfz曲面S的面积为;122dxdyAxyDyzxz(2)曲面面积当薄片是均匀的，重心称为形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的重心为(3)重心薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为(4)转动惯量薄片对轴上单位质点的引力z设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，计算该平面薄片对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a},,,{zyxFFFF,)(),(23222dayxxyxfFDx,)(),(23222dayxyyxfFDy.)(),(23222dayxyxafFDz为引力常数f(5)引力6、三重积分的应用.dvM其中,1dvxMx设物体占有空间闭区域，在点),,(zyx处的密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，则该物体的重心为(１)重心,1dvyMy.1dvzMz,2dvzIxy(２)转动惯量设物体占有空间闭区域，在点),,(zyx处的密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为,2dvxIyz,2dvyIzx,)(22dvzyIx,)(22dvxzIy,)(22dvyxIz.)(222dvzyxIo曲线积分与曲面积分曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件.1.理解两类曲线积分的概念,了解两类3.掌握格林(Green)公式,会使用平面(Gauss)、5.了解散度、旋度的概念及其计算6.会用曲线积分、4.了解两类曲面积分的概念及高斯并会计算两类曲面积分.斯托克斯(Stokes)公式,方法.曲面积分求一些几何量与物理量.曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分定义niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxP联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算dtfdsyxfL22],[),(三代一定)(dtQPQdyPdxL]),(),([二代一定(与方向有关)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(其中L是D的取正向的边界曲线,格林公式平面曲线上的积分与路径无关条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()3(xQyPD,)4(内在等价命题思路LyQxPIddxQyPxQyP0ddLyQxPI),(),(00ddyxyxyQxPI闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式第二类曲线积分的计算法LyyxQxyxPd),(d),(DyxyPxQIdd)(第一类曲面积分曲面积分;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),,(1):(,)(,)xyzzxyxyD若曲面则;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,(则2):(,)(,)zxyyxzzxD若曲面.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(3)(,)(,)yzxxyzyzD若曲面：则第二类曲面积分),(:)1yxzz若曲面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中符号当Σ取上侧时为正，下侧时为负。xyD),(:)2zxyy若曲面yxRQdzd