重积分的应用

第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用第十章1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性•从定积分定义出发建立积分式•用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束一、立体体积•曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为DyxyxfVdd),(•占有空间有界域的立体的体积为zyxVddd机动目录上页下页返回结束任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面的交线在xoy面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd22yx202000122yxyyxxyxDdd12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D)在点Drrrdd2例1.求曲面rrdd10320机动目录上页下页返回结束xoyza2例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar0200dsin20drrvdddsind2rM机动目录上页下页返回结束MAdzdn二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即机动目录上页下页返回结束xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,,AyxDxzDzzyxFFFF222且yxdd机动目录上页下页返回结束例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220])1)1([32232R出的面积A.机动目录上页下页返回结束例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为ar球面面积元素为ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法2利用直角坐标方程.方法1利用球坐标方程.axyzoddsina机动目录上页下页返回结束(P170例1)xoyz机动目录上页下页返回结束例5设有一颗地球同步轨道通信卫星,距地面的高度为h=36000km,速度与地球自转的角速度相同.通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值.运行的角试计算该解取地心为坐标原点,地心到通信卫星的连线为z轴,建立坐标系,如右图所示.通信卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分.的方程为于是,通信卫星的覆盖面积为2222222,sin.zRxyxyR其中,Dxy是曲面在xOy面上的投影区域.221xyDzzAxy222dd.xyDRxyRxy机动目录上页下页返回结束利用极坐标,得2222,sinxyDxyxyR由于2sin2200ddRRAR代入上式得221cos.R由此得这颗通信卫星的覆盖面积与地球表面积之比为sin2202dRRRcos,RRh由已上结果可知,22212.RhARRRhRh卫星覆盖了全球三分之一以上的面积.323361042.5%422366.410AhRRh地球全部表面.故使用三颗相隔角度的通信卫星就可以覆盖几乎23三、物体的质心设空间有n个质点,,),,(kkkzyx其质量分别,),,2,1(nkmk由力学知,该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),,(),,(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),,(ddd),,(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),,(ddd),,(zyxzyxzyxzyxzzddd),,(ddd),,(,),,(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度xMyM—对x轴的静矩—对y轴的静矩机动目录上页下页返回结束4例5.求位于两圆和的质心.2D解:利用对称性可知0x而DyxyAydd1Drrddsin312rrdsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动目录上页下页返回结束(P173例3)Vzyxzzddd例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为h的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z轴上，,0yx采用柱坐标,则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重,求它的质心.oxz若炉不计炉体的其坐标为机动目录上页下页返回结束zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxz)41229(923hhhV机动目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数.),,(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元vzyxyxd),,()(22因此物体对z轴的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),,()(22zIdxyoz对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束类似可得:zyxzyxIxddd),,(zyxzyxIoddd),,()(22zy)(22zx)(222zyx对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),,(DoyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx机动目录上页下页返回结束rraddsin0302例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23241aM半圆薄片的质量221aMoxyDaa的转动惯量.机动目录上页下页返回结束(P175例5))sinsincossin(222222rr解:取球心为原点,z轴为l轴,则zyxyxddd)(22dddsin2rrolzxy132220d球体的质量334aMdsin03rrad04例8.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束222zyxrG为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vryzyxGFyd),,(d3vrzzyxGFzd),,(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束vrxzyxGFxd),,(3vryzyxGFyd),,(3vrzzyxGFzd),,(3对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx机动目录上页下页返回结束xyzoR例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力zFddaGDzaGFaG处的单位质量质点的引力.2ddGdaR020da0M。),0,0(zFF23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr机动目录上页下页返回结束Rxyzo例10.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd])([23222RRzazGd)(200232222])([ddzRazrrr点zDazyxyx23222])([dd0MazD机动目录上页下页返回结束(P177例7)RRzazd)(zFG222211azaRza200232222])([ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM为球的质量机动目录上页下页返回结束)(th(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)机动目录上页下页返回结束备用题提示:yxzo记雪堆体积为V,侧面积为S,则)(:221220thyxD])()([:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d])()([thzzththS0D)()(162221thyx)(2thrrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(用极坐标)机动目录上页下页返回结束)(12132thS,)(43thV由题意知StV9.0dd令,0)(th得100t(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动目录上页下页返回结束