2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第5章第32讲 平面向量基本定理与平面向量的坐标运算

向量的坐标表示1(2,1)(1,3)3,4________2(24)10,6(8,10)22_____1___________.ABCDABCDABCABBCBCAC已知的三个顶点、、的坐标分别为－、－、，则顶点的坐标为；若、、三点的坐标分别为，－、、－，则、的坐标分别为、【例】()(21)4,1242,2,2112(2,10)(8,4)(10,14)2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(1812DxyADBCADxyBCxxDyyABBCACABBC设顶点的坐标为，．因为，＋，－，＝，所以解得，所以．因为＝－，＝＝－，＝－，所以＝－＋－＝－＋－【＝】－解析,18)11(8,4)(10,14)(33)2212,22(18,18)(33)BCAC，＝－－－＝－，－．答案：　－；－，－本题主要考查向量的坐标表示和向量的坐标运算，这些均属基础知识、基本方法，做此类题要做到熟、快、准．(1,6)3,01||=1||.3ABABPAPAB已知【变式练习点－和，在直线上求一点，使】1()||=||31(16)(46)3411,.336241(4)3PxyAPABxyxxyyPP设的坐标为，，若，则由＋，－＝，－，得解得此时点的坐标为【】，解析．11||=||(16)(46)33471,.336247(8)317(4)(8)33APABxyxxyyPPPP若，则由＋，－＝－，－，得解得此时点的坐标为－，．综上所述，，或－，．向量垂直与平行关系的应用【例1】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：(1)ka＋b与a－3b垂直；(2)ka＋b与a－3b平行，且平行时它们是同向还是反向？(3,22)3(104)310(3)4(22)019.314(3)10(22)03104()3(104)331(3)3312kkkkkkkkkkkkkk＋＝－＋，－＝，－．若＋与－垂直，则－－＋＝，得＝若＋与－平行，则－－－＋＝，得＝－，且＋＝－，，－＝，－，所以＋＝－－，所以【解析】＋与－反向．abababababababababababab若向量用坐标表示，则解决向量间的位置关系问题时，用相应的坐标关系式进行运算较简捷．【变式练习2】如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ→与BC→的夹角θ取何值时BP→·CQ→的值最大？并求出这个最大值．【解析】BP→·CQ→＝(BA→＋AP→)·(CA→＋AQ→)＝BA→·CA→＋BA→·AQ→＋AP→·CA→＋AP→·AQ→＝AQ→·(BA→－CA→)－AQ→2＝BC→·AQ→－a2＝a2cosθ－a2，所以当cosθ＝1即θ＝0时，BP→·CQ→的值取最大值为0.平面向量基本定理的应用【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．【解析】设e1＝BM→，e2＝CN→，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数λ、μ，使AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2，所以BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.又BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，所以λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，解得λ＝45μ＝35.所以AP→＝45AM→，即AP∶PM＝4∶1.本题考查平面向量基本定理、共线向量的充要条件等基础知识，解题时可选择一组合适的向量作基底，由向量共线列出等式，建立方程组，求出比值．【变式练习3】已知：半圆的直径AB＝2，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是－12.【解析】因为PO为△PAB的中线，所以(PA→＋PB→)＝2PO→，则(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝2|PO→||PC→|cosπ＝－2|PO→|(1－|PO→|)＝2(|PO→|2－|PO→|)，所以当|PO→|＝12时有最小值为－12.1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为_____________－1,2121212,121211223,41,22,3(223)231.2342c因为＝＋，则＝＋＝＋＋，所以，【解析】ab2.(1,2)35//已知＝－，＝，且，则的坐标是___________________accac123535()||55(3,6)(36)由已知＝＝，，所以＝－或【解析＝，－．】acacc(－3,6)或(3，－6)3.,124,5(,10)OAkOBOCkABCk已知向量＝，＝，＝－，且、、三点共线，则＝___________,124,5(,10)(47)(22)2(47)(22).3OAkOBOCkABkACkABCkkk因为＝，＝，＝－，所以＝－，－，＝－，－．又、、三点共线，故－，－＝－【，－，所以＝－解析】23－4.(2,4)(31)(34)32ABCCMCACNCBMNMN已知－、，－、－，－且＝，＝，求点、的坐标及向量的坐标．(2,4)(31)(34)1,86,3331,83,24226,312,6()(34)330,0,20424209,2(90,220ABCCACBCMCACNCBMxyCMxyxxMyyNMN因为－、，－、－，－，所以＝，＝，所以＝＝，＝＝．设，，则＝＋，＋，因此得所以，同理可得，所以＝－【解－析】)(918)＝，－．5.(3cossin)(3cossin)023,1ABOAOB已知，，－，－，，且与＝共线，求＋的值．a(3cos3cossinsin)3,1sinsin133cos3cosOAOBOAOB依题意，得＝－，－．因为与＝共线，所以【解析】a3(coscos)3(sinsin)cos3sincos3sin1313cossincossin2222cos()cos()332,33341024.3333即－＝－，即－＝－，即－＝－，即＋＝＋．因为＋＋所以＋＋＋＝或，则＋＝或1．根据平面向量基本定理，在同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．在实际解题中的指导意义在于找到表示一个平面内所有向量的一组基底(不共线向量e1与e2)，这样，平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有e1、e2的代数运算．为了降低问题的难度，可以应用方程的思想将问题转化．2．基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否合适，注意与已知条件联系．