第二章----一元函数微分学及其应用(1)

第二章一元函数微分学及其应用第一节一元函数的导数与微分第二节导数的应用第一节一元函数的导数与微分一、导数的定义二、求导法则和基本求导公式三、函数的微分1.导数的定义引例一、导数的定义M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置M，直线MT就称为曲线C在点M处的切线．T0xxoxy)(xfyCNM极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx导数的概念其它形式00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx,)(00xxxxdxxdfdxdy或即如果极限000()()limxfxxfxx不存在，就说函数()yfx在点0x处不可导．如果不可导的原因是由于000()()limxfxxfxx，也往往说函数()yfx在点0x处的导数为无穷大．.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★★关于导数的说明：2.左、右导数如果极限000()()limxfxxfxx及000()()limxfxxfxx存在，则极限值分别称为函数()fx在点0x处的左导数和右导数，记作0()fx及0()fx，即0000()()()limxfxxfxfxx，0000()()()limxfxxfxfxx．定理函数在点0x处可导的充分必要条件是左导数0()fx和右导数0()fx都存在且相等．3.可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x连续函数不存在导数举例注意:该定理的逆定理不成立.★函数0()||1xxfxxxx，，00lim()0lim()0xxfxfx，，所以()fx在0x处连续．00()(0)(0)limlim1xxfxfxfxx，00()(0)(0)limlim1xxfxfxfxx．所以()fx在0x处不可导.步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即4.求导举例例2.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x例3.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxeeoxy)(xfyT0xM几何意义：)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy5.导数的几何意义定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu二、求导法则和基本求导公式1.导数的运算法则例1.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx即.csc)(cot2xx同理可得例2.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得2.反函数的求导法则11()()0,(),1[()]'.()yxxyIyyxIxy如果函数在某区间内单调、可导且那么它的反函数在对应区间内也可导且有即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3.基本初等函数的求导法则xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc4.复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数..)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数的导数隐函数求导过程:（1）方程()0Fxy，两边同时对x求导，把()Fxy，中的y看成是x的函数，利用复合函数的求导法则计算；（2）解出y．由于对数具有化积商为和差的性质，在有的求导运算中，可先将函数取自然对数，然后利用隐函数的求导法则求导，这就是所谓的对数求导法.例求(1)(2)(3)(4)xxyxx(4)x的导数.解先在两边取对数，得1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2yxxxx，上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得41312111211xxxxyy，则1(1)(2)11112(3)(4)1234xxyxxxxxx.),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,)()(中在方程tytx参数方程所确定的函数的导数,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即6.高阶导数.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数的概念记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例sin,yx设解xycos)2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得求正弦函数与余弦函数的n阶导数.高阶导数的计算三、函数的微分1.微分的定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数2.可导与可微的关系(2)充分性),()(0xxxfy从而,)(0xfxy即,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx),0(0x),()(0xoxxf.)(,)(00Axfxxf且可微在点函数).(.0xfA可微可导.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数3.微分的运算法则dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1)基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2)微分的四则运算法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvudarc设函数()yfu，而()ux，则复合函数[()]yfx的微分为()()()dyfuxdxfudu．上式称为一阶微分形式不变性．即不论u是自变量或中间变量，函数()yfu的微分具有()dyfudu形式．3)复合函数的微分法则4.微分在近似计算中的应用,,0)()(00很小时且处的导数在点若xxfxxfy.)(0xxf00xxxxdyy计算函数增量的近似值)()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf)(很小时x常用近似公式)(很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn为弧度为弧度证明,1)()1(nxxf设,)1(1)(11nxnxf.1)0(,1)0(nffxffxf)0()0()(.1nx例利用微分计算sin61的近似值．解已知613180，03x，180x．000sin6030sin()sin()sincos3180xxxxxsincos33180310.874722180．即sin610.8747．