条件数学期望与条件方差

一、条件数学期望1、离散型r.v.的条件数学期望X和Y的边缘分布律分别为1{},1,2,...iiijjPXxppi1{},1,2,...jjijiPYyppj§4.4条件数学期望与条件方差设随机变量X与Y的联合分布律为{,},,1,2,ijijPXxYypij为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;记为.{|},1,2,...ijijjpPXxYyjp＝若对固定的j,p.j0,则称X|Y=yjx1x2……Pp1j/p.jp2j/p.j……xnpnj/p.j同理，对固定的i,pi.0,称.{|},1,2,...ijjiipPYyXxjp＝为X＝xi的条件下，Y的条件分布律;1.(|),1,2,ijjiijpEXYyxjp＝定义设随机变量X与Y的联合分布律为{,},,1,2,ijijPXxYypij＝1.(|),1,2,ijijiipEYXxyip＝2、连续型r.v.的条件数学期望|(|),XYpxy的概率密度若|(|),XYxpxydx则称|{|}(|)XYEXYyxpxydxXYy为在条件下的条件数学期望，简称条件期望。|{|}(|)YXEYXxypyxdy定义设连续型随机变量(X,Y)，在Y=y发生条件下，同理：注1：E(Y|X=x)为关于x的函数，记为(x)则E(Y|X)=(X)定理1.X,Y为r.v.,EX,EY,Eg(Y)存在,则1,(|)aXbaEXYyb（）若12112211222,(|)(|)(|)(|)iCCEXYyECXCXYyCEXYyCEXYy（）为常数，且存在，则3[(|)]EEXYEX（）Proof(1)(2)性质与普通数学期望证明是一样的.11.(3),()(|)jjjijiiijijiijXYYyPYyppEXYyxpxup若（）为离散型，的概率为12.1.2...111.(|)(|)[(|)]jjijjjijjjijEXYEXYuuuPppppEEXYupxpEXp所以的分布律[(|)][()]()()()XYYXYYEEXYxpxydxpydyxpxypydxdyEX若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则(1)X,Y独立,有E(Y|X)=EY;定理2.X,Y为r.v.,EX,EY,Eg(Y)存在,则(2)E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X);(3)E(c|X)=c;(4)E(g(X)|X)=g(X);(5)E{Y-E(Y|X)}2E{Y-g(X)}2;221212(,)~(,,,,)(|),(|)XYNEXYyEYXx求11222211221222112(1)21(,)exp{[()2()]}xxyypxy解：112221122122221222212(1)()212(1)2[()2()][()]xxyyxyy由于211222112121122(1)()exp{[()]}XYpxyxy12211221()()()()EXYyyEYXxx所以同理二、条件方差1、定义2、条件方差的性质(|)DYX22(|){|(|)}DXYEXYEXY2{[(|)]|}EYEYXX存在,称之为随机变量X条件下随机变量Y的条件方差，记为22(|){|(|)}DYXEYXEYX定理1()(|)(|)DYEDYXDEYX证明2222(|){|(|)}(|)XXEDYXEEYXEYXEYEEYX22(|)[(|)]()XDEYXEEYXEY()(|)(|)DYEDYXDEYX总结条件数学期望条件方差