第二章----一元函数微分学及其应用(2)

第二节导数的应用一、微分中值定理二、洛必达法则三、函数的单调性、极值与最值四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘五、导数在工程技术中的简单应用一、微分中值定理1.罗尔定理引理设f(x)在处可导,且在的某邻域内恒有则有.定义导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）..罗尔定理设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义：·如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么在曲线弧AB上至少存在一点C，在该点处曲线的切线平行于x轴.2.拉格朗日中值定理定理设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.拉格朗日中值定理的几何意义：如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.)),(,(f弦线的方程为作辅助函数即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.推论1若函数()fx在区间I上导数恒为零，则()fx在区间I上是一个常数．推论2如果函数()fx与()gx在区间I上恒有()()fxgx，则在区间I上()()fxgxC，其中C为常数．3.柯西中值定理定理设函数f(x)与F(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，()0,Fx则至少存在一点()()()(,).()()()fbfafabFbFaF，使在柯西中值定理中，若取F(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.4.泰勒公式泰勒中值定理如果函数)(xf在含有0x的某个开区间(,)ab内具有直到1n阶导数，则当x在(,)ab内时，)(xf可以表示为0xx的一个n次多项式与一个余项()nRx之和，即2()000000011()()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxxxfxxxfxxxRxn其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn(介于0x与x之间)．该公式称为n阶泰勒公式，余项()nRx称为拉格朗日型余项.当0n时，泰勒公式变成'00()()()()fxfxfxx(介于0x与x之间)，因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成2()0000000011()()()()()()()()(())2!!nnnfxfxfxxxfxxxfxxxoxxn即0()(())nnRxoxx，该余项称为皮亚诺形式的余项．当00x时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即()2(0)(0)()(0)(0)()2!!nnnfffxffxxxRxn，或()2(0)(0)()(0)(0)()2!!nnnfffxffxxxoxn，其中(1)1()()(1)!nnnfRxxn．二、洛必达法则1.型未定式00点可导，点的导数，假设在在考察函数aaxf)(axafxfafax)()(lim)(。分子分母同时趋向于时，限当是一个常数值，上述极0)(axaf,tanlim0xxx)00(型未定式,sinlnsinlnlim0bxaxx)(00型和型的极限洛必达(L’Hospital,1661-1704)定理1)00(定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则..,该法则仍然成立时当x注意：1)使用洛必达法则必须验证条件，不是未定式不能用罗必塔法则；2)洛必达法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限.定理2)(.,该法则仍然成立时当x型00,1,0,,0例1解.lnlim0xxx求)0(xxx10lnlim原式2011limxxx解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型),00()(10）型0)(lim0xx2.其它未定式的求法例2解)(2）型)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20cotlim2xx)tan(seclim2xxx求),00(0030,1,）型例3解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim0洛必达法则型00,1,0型型0型00型三、函数的单调性、极值和最值1.函数的单调性问题的提出xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA若在区间（a,b)上单调上升)(xfy若在区间（a,b)上单调下降)(xfy0)(xf定理1（函数单调性判别法）.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在）（内可导上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy例解.]20[sin上的单调性，在判断函数xxy.0cos1xy,0y.函数单调增加1234561234562.函数的极限定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.31292)(23xxxxf函数的极值点。是函数点和极小值有极大值)(2,1,1)2(2)1(xfxxff注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.定理2（极值存在的必要条件）.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注1:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x注2:定理3（第一充分条件）求极值的步骤:);()1(xf求出导数;0)()()2(的根的全部驻点，即方程求出xfxf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号考察xf.)4(值求出各极值点处的函数定理4（第二充分条件）注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.3.函数的最大值和最小值oxyoxybaoxyabab.],[)(],[)(在上的最大值与最小值存在为零的点，则并且至多有有限个导数处可导，上连续，除个别点外处在若函数baxfbaxf闭区间上连续函数的最值步骤:1.求驻点：3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2.求不可导点：mxxxbaxf,,),()(21内的驻点在求出nxxxbaxf,,),()(21内的不可导点在求出4.比较（3）中函数值大小,最大的便是最大值,最小的便是最小值;四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘1.曲线的凹凸与拐点定义1设函数y=f(x)在I上连续,若曲线y=f(x)位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线y=f(x)在I上是凹的;若函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线y=f(x)在区间I上是凸的.定理设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内具有一阶和二阶导数.(1)若在(a,b)内f``(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f``(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.定义2连续曲线y=ƒ(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。例求曲线3xy的拐点．解函数的定义域为(,)，3213yx，3229yxx；函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为0x，且当0x时，0y；当0x时，0y．因此，点(0,0)是曲线的拐点．定义:（1）铅直渐近线)(轴的渐近线垂直于x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线就是那么或如果xfyxxxfxfxxxx2.函数图形的描绘1）渐近线例如,)3)(2(1xxy有铅直渐近线两条:.3,2xx（2）水平渐近线)(轴的渐近线平行于x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfybybbxfbxfxx例如,arctanxy有水平渐近线两条:.2,2yy（3）斜渐近线.)(),(0)]()([lim0)]()([lim的一条斜渐近线就是那么为常数或如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx斜渐近线求法:,)(limaxxfx.])([limbaxxfx.)(的一条斜渐近线就是曲线那么xfybaxy注意:;)(lim)1(不存在如果xxfx,])([lim,)(lim)2(不存在但存在axxfaxxfxx.)(不存在斜渐近线可以断定xfy例1.1)3)(2(2)(的渐近线求xxxxf解).,1()1,(:D)(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近线xxxfx)(lim又)1()3)(2(2limxxxxx,2]2)1()3)(2(2[limxxxxxx1)1(2)3)(2(2limxxxxxx,4.42是曲线的一条斜渐近线xy的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf2）函数图形的描绘一般步骤：(1)确定函数的定义域，并讨论函数奇偶性、周期性；(2)求出一阶、二阶导数为零的点，求出一阶、二阶导数不存在的点；(3)列表分析，确定曲线的单调性和凹凸性；(4)确定曲线的渐近性；(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点；(6)连结这些点画出函数的图形．例.2)1(4)(2的图形作函数xxxf解,0:xD非奇非偶函数,且无对称性.,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得特殊点]2)1(4[lim)(lim2xxxfxx,2;2y得水平渐近线]2)1(4[lim)(lim200xxxfxx,.0x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极值点间断点3)926,3(:补充点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图xyo232111236ABC五、导数在工程技术中的简单应用例1两辆汽车之间的最近距离问题某处立交桥上、下是两条互相垂直的公路，一条是东西走向，一条是南北走向，现有一辆汽车在桥下南方100m处，以20m/s的速度向北行驶；而另一辆汽车在桥下西方150m处，以20m/s的同样速度向东行驶，已知桥高为10m，问经过多少时间两辆汽车之间的距离为最小？并求它们之间的最小距离．解容易求得，在时刻t秒两辆汽车之间的距离为222(10020)10(15020)stt23260010000800tt，这是目标函数，其定义域为0t，求导得250008003260010000800d