2009级创新班20116：圆锥曲线伴侣点线的研究20110223

圆锥曲线关联点线的一个性质2009级创新班20113：2011.02.21(,):4,.AabCyxSRSRB过定点的直线与曲线相交于两点、求证：抛物线、两点处的切线的交点恒在一条直线上[解析]2211221222212112112121212211(,),(,)(),4411144:(),44().,4()111:'.42SxxRxxxxxxSRyxxxxxyxxxxxASRbxxaxxyxyx设则直线的方程为即点在上对求导得22111112222222121211()4224211()42342223,:,114220,220.SRyxxxxyxxxyxxxxyxxxxxxyxxaxybBaxyb抛物线上、处的切线方程为：即即联立并解之得代入得：故点在直线上22122211221212(,),,,:(),1:4440.4411(,),(,)(),,4()44AabAlSRybkxayxyxkxakbxxkSxxRxxxxxxakb设当过点的直线斜率不存在时与抛物线有且仅有一个公共点与题意不符可设直线的方程为与联立消去得设则：[法二]221122121242,42,22()14,:220,20.SRyxxxyxxxxxkxkyxxakbkaxybBaxyb又过、点的切线方程分别为：联立并解之得为常数消去得故点在直线上(2009湖北卷理)过抛物线22(0)ypxp的对称轴上一点,00Aaa的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线:lxa作垂线，垂足分别为1M、1N。（Ⅰ）当2pa时，求证：1AM⊥1AN；（Ⅱ）记1AMM、11AMN、1ANN的面积分别为1S、2S、3S，是否存在，使得对任意的0a，都有2213SSS成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：依题意，可设直线MN的方程为1122,(,),(,)xmyaMxyNxy，则有21世纪教育网12(,),(,)MayNay由22xmyaypx消去x可得2220ympyap从而有121222yympyyap①,于是21212()22()xxmyyampa②又由2112ypx，2122ypx可得222121222()(2)44yyapxxapp③（Ⅰ）如图1，当2pa时，点(,0)2pA即为抛物线的焦点，l为其准线2px此时1112(,),(,),22PPMyNy并由①可得212yyp证法1：1112(,),(,)AMpyANpyuuuuvuuuvQ2221112110,AMANpyyppAMANuuuuvuuuv即21世纪教育网证法2：1112,,AMANyyKKppQ1121211221,AMANyypKKAMANpp即.(Ⅱ)存在4，使得对任意的0a，都有22134SSS成立，证明如下：证法1：记直线l与x轴的交点为1A,则1OAOAa。于是有11111121111231112211)221211)22SMMAMxaySMNAAayySNNANxay（（2221312112222212121212124()()()[()4][()]SSSayyxayxayayyyyxxaxxayy将①、②、③代入上式化简可得2222222(48)2(24)4(2)ampapapampaapmpa上式恒成立，即对任意22130,4aSSS成立证法2：如图2，连接11,MNNM,则由212112,2yyapypx可得1122211122222OMONypypyypKKxyyyapa,所以直线1MN经过原点O，同理可证直线1NM也经过原点O又1OAOAa设1111121112,,,,MAhNAhMMdNNd则11121212322111,2()(),.222SdhSahhahhSdh1112212212,2hdhdhdahdhh又从而结论成立111122||||,||||MMxaxaAMNNxaANax证：111221||||||||hdMMAMhdNNAN的证明：1111111|'|||||||||||||||QAANQAAMNNMNMMMN证：，1111111|||||||||'|||||AMNNMNANQAMMMN|QA|=设N1M交x轴于Q，M1N交x轴于Q‘11||||||1||||||AMNNMNANMMMN=所以M，O，N1共线，M1，O，N共线1111OMNOMNOMMONNSSSS111112OMNOMNANMSSS证法421324SSS进一步可以得到：若MK垂直A1B1，K为垂足，则AB1与BA1的交点为MK的中点。【推广】过抛物线22(0)ypxp内一定点(,)Mmn作抛物线的弦AB，则抛物线在A，B两点处的切线的交点在直线()nypxm上。注：（1）这种点与相应的直线有的地方称为“伴侣点线”；（2）这种性质在椭圆与双曲线中均有。【特例】对于抛物线22(0)ypxp，过其焦点F作弦AB，则此抛物线在A，B处的切线的交点的轨迹方程为直线2px；反之，过其准线2px上任一点作抛物线的两切线，则其切点弦必过焦点F。【特例】对于抛物线22(0)ypxp，过定点(,0),(0)Mmm作弦AB，此抛物线在A，B处的切线的交点的轨迹为直线xm。【推广三】过椭圆22221(0)xyabab内一定点(,)Mmn作椭圆的弦AB，则椭圆在A，B两点处的切线的交点的轨迹方程为直线221mxnyab。【推广四】过双曲线22221(0,0)xyabab内一定点(,)Mmn作双曲线的弦AB，则双曲线在A，B两点处的切线的交点在直线221mxnyab上。(06年全国卷（II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．……4分所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0所以FM→·AB→为定值，其值为0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．|FM|＝(x1＋x22)2＋(－2)2＝14x12＋14x22＋12x1x2＋4＝y1＋y2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S＝12|AB||FM|＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．(07年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线y=x2相交于A,B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于P,Q，（2）若P为线段AB的中点，求证：AQ为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（08山东卷22)如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，410AB，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp＞上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.