Z变换

数字信号处理第四章Z变换授课教师：胡双红QQ:79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院教学内容„Z变换意义„Z变换定义„Z变换性质„Z反变换„Z域系统描述„差分方程Z变换意义总结DTFT：＋利用H(ejw)便于计算正弦稳态响应；＋将X(ejw)乘以H(ejw)，可计算LTI系统对绝对可加序列x(n)的响应－有用信号u(n)、nu(n)，由于不是绝对可加，DTFT不存在－系统由初始条件或者变化输入引起的暂态响应不能应用DTFT计算针对上述特点，我们引入DTFT的推广：Z变换。‹其双边形式提供另一种域：Z域，使很大一类序列和系统都能在其中分析；‹其单边形式能用于在初始条件或变化输入下求系统响应。§4.1双边Z变换„定义„要点„Z变换计算„ROC性质„收敛域(ROC):使X(z)存在的z值集合Rx-和Rx+为正数。„z反变换定义„其中C是ROC内环绕原点的某一逆时针方向闭合围线+−∞−∞=−∆=Ζ=∑xxnnRzRznxnxzX)()]([)(()[]()∫−−∆==CndzzzXjzXZnx1121)(π定义：要点①复频率z=|z|ejw，其中|z|为幅度，w是实频率。②ROC是用幅度|z|定义的，所以其形状为圆环。③如果Rx+Rx-，则ROC是一个零空间，z变换不存在。④函数|z|=1(即z=ejw)是z平面内的单位圆，如果ROC包括单位圆，在单位圆上对X(z)求值因此离散时间傅里叶变换X(ejw)也称为z变换X(z)的特例.⑤ROC是一个鉴别特征，保证z变换的唯一性。()[]nxenxeXzXnjwjwezjwΖ===∑∞−∞=−=)()(|)(其中：B(z)=z是分子多项式B(z)的根称为X(z)的零点A(z)=z-a是分母多项式A(z)的根称为X(z)的极点+−∞⇒−=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−∞=∞=−∑∑xxRRnnnnnzaROCazazzzaazzazazX||||:||||,1;11)(11001()()()azzzAzBzX−=∆1例1：设x1(n)=anu(n)，0|a|∞，求z变换(P77)例2：设x2(n)=-bnu(-n-1)，0|b|∞，求z变换(P77)()112102111:0||||1xxnnnnnmnmnmmRRbXzbzzzzbbzROCzbzbzb−+−−−=−∞=−∞∞∞=−==⎛⎞=−=−⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=−=−−∑∑∑∑21321103:;|:|,|:|,)(ROCROCROCbzzazzbzROCbzzazROCazzzbzazXnnnnnn∩−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−=∑∑−∞=−∞=−例3:设x3(n)=x1(n)+x2(n)=anu(n)-bnu(-n-1)，求z变换(P78)解：利用上面的结论有小结：ROC性质„ROC总被某个圆所界定，因收敛条件由幅度|z|决定„ROC是一个连通的区域，不会分成几片。„ROC内不包含极点；„至少有一个极点位于ROC的边界上;„右序列(nn0)的ROC总是位于半径为Rx-的圆外；„左序列(nn0)的ROC总是位于半径为Rx+的圆内；„双边序列的ROC总是一个位于Rx-|z|Rx+的圆环。„有限长序列(n2nn1)的ROC是整个z平面；若n10，ROC不包括z=∞，若n20，ROC不包括z=0；§4.2z变换的性质„性质„常见信号Z变换„利用conv_m计算表达式乘积„复杂信号z变换简单计算„线性„样本移位„频移„反转()()[]()()21:;22112211xxROCROCROCzXazXanxanxa∩+=+Ζ()[]()xnROCROCzXznnxZ:;00−=−()[]xnROCaROCazXnxaZ倍的|:|;⎟⎠⎞⎜⎝⎛=()[]()ROC:;1xROCzXnxZ=−所有性质板书推导„复共轭„z域微分„相乘„卷积()[]()xROCROCzXnxZ:;***=[]xROCROCdzzdXznnxZ:;)()(−=()()[]()()21:;2112121xxCROCROCROCdvvvzXvXjnxnxZ∩∫−=π()()[]()()21:;*2121xxROCROCROCzXzXnxnxZ∩=表4.1常用Z变换对-nanu(-n-1)nanu(n)[ancosw0n]u(n)[ansinw0n]u(n)-anu(-n-1)anu(n)-u(-n-1)u(n)δ(n)序列|z||a||z||a||z||a||z||a||z|a|z|a|z|1|z|11ROC变换1−zz1−zzazz−azz−2020cos2sinazazza+−ωω20202cos2cosazazzaz+−−ωω2)(azaz−2)(azaz−z∀„解：应用样本移位性质，ROC不变„再应用z域微分性质，ROC不变„从表4.1中查得例：利用z变换性质和z变换表，求下式的z变换(P83)())2(23cos)5.0)(2()()2(−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−nunnnxnπ()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−nunnZznxZzXn3cos5.0)(2π()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−nunZdzdzzzXn3cos5.02π()()5.0;25.05.025.05.0;25.03cos5.023cos5.03cos5.02222+−−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛zzzzzzzzzznunZnπππ()5.0,0625.025.075.00625.05.025.05.0,0625.025.075.00625.05.025.05.0,25.05.025.0234123421221+−+−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−−+−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−=−−−zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzdzdzzXmatlab确认b=[0,0,0,0.25,-0.5,0.0625];a=[1,-1,0.75,-0.25,0.0625];[delta,n]=impseq(0,0,8);x=100000000x=filter(b,a,delta)x=0000.2500-0.2500-0.3750-0.12500.07810.0938x=[(n-2).*(0.5).^(n-2).*cos(pi*(n-2)/3)].*stepseq(2,0,8)x=0000.2500-0.2500-0.3750-0.12500.07810.0938例：设X1(z)=z+2+3z-1和X2(z)=2z2+3z+4+5z-1，求X3(z)=X1(z)X2(z)。(P81)„思路：„由z变换定义式很容易得到x1(n)和x2(n)，„根据性质8，将z域中的乘积转化为时域中的卷积（conv_m实现）„最后将卷积的结果转化为z域表达式。解：„依z变换定义可得x1(n)={1,2,3}x2(n)={2,3,4,5}„利用matlab中的conv_m函数x1=[1,2,3];n1=[-1:1];x2=[2,3,4,5];n2=[-2:1];[x3,n3]=conv_m(x1,n1,x2,n2)x3=2716222215n3=-3-2-1012„将卷积结果化为z域表达式得：X3(z)=2z3+7z2+16z+22+22z-1+15z-2§4.3z反变换„部分分式展开法„MATLAB实现：residuez„实例„方法：已知„表示为„真有理部分部分分式展开„其中pk是X(z)的第k个极点，Rk是在极点pk上的留数主要思想：X(z)表示为z-1的有理函数部分分式展开为一阶因式的和，对应每个因式应用z变换表求反变换。+−−−−−++++++=xxNNMMRzRzazazbzbbzX||,1)(11110()时的多项式部分真有理部分NMNMkkkNNNNzDzazazczcczX≥−=−−−−−−−∑+++++++=011111101)(∑∑=−=−−+−=NkNMkkkkkzDzpRzX1011)(„留数的求法：如果极点都是单阶极点„将x(n)写成„利用表4.1计算x(n)kpzkNNNNkzpzazazczccR=−−−−−−−−++++++=|)1(1111)1(1110NMNMkkNkkkknDzpZRnx≥−==−−∑∑−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=0111)(11)(δ{111()||(1)||1nkkknkkkkpunzpZpunzppz−−⎡⎤≥=⎢⎥−−−≤−⎣⎦matlab实现利用residuez函数„当两个多项式B(z)和A(z)分别用两个向量b和a给出时„[R,p,C]=residuez(b,a)„求出X(z)的留数、极点和直接项。„[b,a]=residuez(R,p,C)„将部分分式展开式转换回到多项式eg求有理函数的反变换。(P85)MATLAB验证：b=[0,1];a=[2,-3,1];[R,p,C]=residuez(b,a)()1322+−=zzzzX()()()111112112211111211121212312121232−−−−−−−−−−−=−−=+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=zzzzzzzzzzzzXR=1-1p=1.00000.5000C=[]„两个极点：z1=1，z2=0.5；ROC有三种可能：„1）ROC1:1|z|∞.这样两个极点都位于ROC1内„2）ROC2:0|z|0.5，这样两个极点都位于ROC2外„3）ROC3:0.5|z|1，z1位于ROC3外,z2位于ROC3内())()21()(1nununxn−=()()1)1(21121)1()(2−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−−=nununununxnn())(21)1(3nununxn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=确定收敛域：„如：已知求其有理多项式形式(P87)R=[1,-1];p=[1,0.5];C=0;[b,a]=residuez(R,p,C)b=00.50000a=1.0000-1.50000.5000„还原为有理多项式形式若已知函数的部分分式的和的形式，要求有理多项式调用residuez函数实现()11211111−−−−−=zzzX()1325.05.115.02211+−=+−=−−−zzzzzzzX例：求的z反变换(P88)()()()9.09.019.011121+−=−−zzzzX„解：首先用MATLAB求分母多项式及其留数„b=1;a=poly([0.9,0.9,-0.9])„a=„1.0000-0.9000-0.81000.7290„[R,p,C]=residuez(b,a)R=0.25000.50000.2500p=0.90000.9000-0.9000C=[]所以利用表4.1与z变换的时移性质可得：注意：这里调用了一个新函数poly，()()()9.09.0125.09.019.09.05.09.0125.09.0125.09.015.09.0125.0121111211++−+−=++−+−=−−−−−−−zzzzzzzzzzX()()()()()()()()()()()()()()nununnunununnunxnnnnnn9.025.09.05.09.075.09.025.019.01959.025.01−++=−++++=+poly函数„作用：已知多项式所有根，求多项式系数„如：已知5个根，1,2,-3,4,5，求多项式„poly([1,2,-3,4,5])„ans=„1-91369-194120„故原多项式为1-9x-1+13x-2+69x–3-194x-4+120x–5或x5-9x4+13x3+69x2-194x+120例：求的z反变换(P89)解：首先用MATLAB确定分母多项式及其留数b=[1,0.4*sqrt(2)];a=[1,-0.8*sqrt(2),0.64];[R,p