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第八节正弦定理、余弦定理的应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线_______的角叫俯角(如图3－8－1①)．上方下方2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向_________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．顺时针1．(人教A版教材习题改编)如图3－8－2所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm【解析】在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝3a.【答案】B2．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．【解析】在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得ACsin60°＝ABsin45°，故AC＝6.【答案】63．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．【解析】如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin120°＝PMsin45°，∴MN＝346.又由M到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．【答案】17264．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.【答案】60【解析】因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，所以S△ABC＝12·AC·AB·sinA＝12×120×120×12＝3600，设这条河的宽度为h，则S△ABC＝12×AB·h，∴h＝AC·sinA＝120×12＝60(m)．(2013·佛山调研)如图3－8－4所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【尝试解答】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，【思路点拨】在△BAD中，由正弦定理，求DB→△BCD中，用余弦定理求CD→求时间t∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203(海里)．在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)．则需要的时间t＝3030＝1(小时)．1．利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型；2．利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解．某单位在抗震救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一个平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图3－8－5)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝CDsin45°sin60°＝23CD，在△BCD中，CD＝6000，∠BCD＝30°，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，根据正弦定理BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042，实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6(m).(2013·东莞质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为340米/秒)【思路点拨】用|AC|表示|BC|，在△ABC中，根据余弦定理列方程求|AC|，在△ACH中，求|CH|.【尝试解答】由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，∴(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝1403.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．1．在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，求该塔的高度．【解】如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h，在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OD＝3·OA＝3h，在△OCD中，CD＝10，且∠OCD＝120°，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．因此该塔的高度为10米．在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【思路点拨】设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间．【尝试解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝6.由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝26×32＝22，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，得∠BCD＝30°，又CDsin120°＝BCsin30°，即103t3＝6，得t＝610.所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时．测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．某货船在索马里海域航行中遭遇海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°，距离10海里的C处，并测得该船正沿方位角105°的方向，以每小时10海里的速度向前行驶，我海军护航舰立即以每小时103海里的速度前去营救，求护航舰的舰向和靠近货船所需的时间．解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．