微积分课后题答案-高等教育出版社1

习题一（A）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74x；（2）321x；（3）)0(ax；（4）)0,(0axax；（5）062xx；（6）022xx．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747x，可解得j.113．x即)11,3(.2）由题意去掉绝对值符号可得123x或321x，可解得11x,53x.即]5,3[)1，1(3）由题意去掉绝对值符号可得x,解得axa.即)a,(a；4）由题意去掉绝对值符号可得0xax,解得axxax00，即axax00,()5）由题意原不等式可化为0)2)(3(xx,3x或2x即）（3，2），(.6）由题意原不等式可化为0)1)(2(xx,解得12x.既1],2[.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）xy与xylg10；（2）xy2cos1与xcos2；（3）)sin(arcsinxy与xy；（4）)arctan(tanxy与xy；（5）)1lg(2xy与)1lg()1lg(xxy；（6）xxy11lg与)1lg()1lg(xxx．解：1)不同，因前者的定义域为),(，后者的定义域为),0(；2)不同,因为当))(2,)212((23kkxk时，02cos1x,而0cos2x；3）不同，因为只有在]2,2[上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为),(11),()，后者的定义域为),1(；6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）1)4lg(xxy；（2）45lg2xxy；（3）xxy11；（4）)5lg(312xxxy；（5）342xxy；（6）xyxlg1131；（7）xyx1lgarccos21；（8）6712arccos2xxxy．解：1)原函数若想有意义必须满足01x和04x可解得411xx,即)4,1()1,(.2)原函数若想有意义必须满足0452xx,可解得50x,即)5,0(.3)原函数若想有意义必须满足011xx,可解得11x,即)1,1(.4)原函数若想有意义必须满足050302xxx,可解得5332xx,即)5,3(]3,2[,3].5)原函数若想有意义必须满足0)1)(3(0342xxxx,可解得31xx,即,31,.6)原函数若想有意义必须满足0lg100xxx,可解得10100xx,即),10()10,0(.7)原函数若想有意义必须满足01012x可解得21010x即]101,0()0,101[228)原函数若想有意义必须满足062xx,1712x可解得)4,3(]2,3[.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）43,13,922xxxxy，求)3(,)0(yy；（2）xxxxxxy1,1210,30,1，求)5(,)0(,)3(yyy．解：1）原函数定义域为：)4,4(3)0(y8)3(y.图略2)原函数定义域为：),(31)3(y3)0(y9)5(yy(5)＝-9.图略5．利用xysin的图形，画出下列函数的图形：(1)1sinxy；（2）xysin2；（3）6sinxy．解：xysin的图形如下(1)1sinxy的图形是将xysin的图形沿沿y轴向上平移1个单位(2)xysin2是将xysin的值域扩大2倍。y1-10π2πxy2102π232πx（3）)2sin(xy是将xysin向2移动6个单值。6．在下列区间中，函数2)2)(1()2sin()(xxxxxxf无界的为（A）．Ａ．)0,1(B．)1,0(C．)2,1(D．)3,2(解：)(xf是基本初等函数的组合，在其定义域内是连续的。若要使)(xf有界，则在其端点处极限值存在。3sin181923sin)(lim1xxfx2sin)(lim0xfx故选A．7．下列区间中，函数12xy为有界且单调减少的是（C）．A．),1(B．1),1(C．1),2(D．0),3(π2yyyyyyyyyyyyyyyy220-2π2232πyy1x0665211-1解：7.C.可画出函数图像判断，图略8．指出下列函数单调增加和单调减少的区间：（1）24xxy；（2）25xy（3）xxy2log；（4）231xy．解：（1）在]2,0[上，在]4,2[上；（2）在),(上；（3）在),0(上；（4）在)0,(上，在),0(上．9．设xxf)(在),0(上单调减少，b,a是任意正数，则有（C）．A．)()()(bfafbafB．babfafbaf)()()(Ｃ．)()()(bfafbafＤ．babfafbaf)()()(解:C；∵bbfbabafaafbabaf)()()()(设ba则abfbabaf)()(∴abfaafbabaf)()()(2∴)]()([)(2bfafababaf∵2aba∴)()()(bfafbaf10．指出下列函数的奇偶性：（1）；cossinxxx（2）；xxxtan14（3）；)1lg(2xx（4）；xxxxaaaa（5）xcoslg；（6）.0x,10x，1)(xxxf，解：1）偶函数；)(cossin)cos()sin()(xfxxxxxxxf2）奇函数；)(x)tan(1xx)xtan(1x)(44xfxxf3）奇函数；)(111)1(1)(22xfxxgxxgxf4）奇函数；)()(xfaaaaxfxxxx5）非奇非偶函数；)(xf定义域不关于原点对称6）偶函数.0101)(xxxxxf11．判别下列函数是否是周期函数，若是则求出其周期：（1）x2sin；（2）x4sin3；（3）xxcos；（3）3sin32cos2xx.解：1）是周期函数，因为xsin)(sin22x,所以周期T。2）是周期函数，因为x4sin3)4x(4sin3，所以周期4T.3)不是周期函数。4）因为2cosx的周期为4，而3sinx的周期为6，所以符合函数周期为12。12．设)(xf和)(xg均为周期函数，)(xf的周期为2，)(xg的周期为3，问：)()(xgxf，)()(xgxf是否是周期函数，若是，求出它们的周期.解：是周期函数，且周期都是6。13．求下列函数的反函数及其定义域：（1）33xxy，1x；（2）73xy，Rx；（3）；0,)2-lg(1xxy（4）；50,252xxy（5）；0，x；0，12xxxy（6）.21,)(2,10,122x2xxxy解：1).1)(x,3x1)-Y(x3)71(xy所以1y13xyy.2).Rx,7xy3Ry7x3y3).0x,2x)-lg(1yx2110y．0Y．)101(21xy4).5x0，-25y2x2225xy5.y025x2y5)..0x,0.,1y2xxx.21,)2(2.10,12x2xxxx6)..21,)2(2.10,12y2xxxx.21,2211，21xyyyy14．设函数231xxy与)(xgy的图形关于直线xy对称，求)(xg.解：因为函数231xxy与)(xgy的图形关于直线xy对称，所以)(xg是)(xf的反函数，所以-3)(x312)(Hg(x)1，xxxf.15．设)(xf是定义在),(上的单调奇函数，问其反函数)(1xfy是否是单调奇函数，何故？解：因为)(xf与其反函数)(1xf关于直线xy对称，所以，当)(xf单调增加时)(1xf也单增，同理)(xf但减时，)(1xf也单减，所以)(1xf是单调函数。16．求由下列函数复合而成的复合函数：（1）xuuy2sec，1，lg；（2）12，，cosxuuy.解：1).)1lg(sec)llg(vlg22u2).12coscoscosyxuu17．设)(xf和)(xg如下，求)(xgf和)(xfg.（1）22)(,)(xxgxxf；（2）1)g(，1g1)(xxxxf.解：1).22f(x)g．42g(x)f2xxx.2).101x01lgx，11lgf(x)g．0x，1)1lg(f(g(x)xx.18．将下列函数分解成基本初等函数的复合：（1）xy2tanlg；（2）xayarcsin；（3）2cos2xy；（4）32arctanlgxy.解：1).tanxv,vu,lguy2.2).xv,au,arcsinuYv.3).2w,coswv,u,2yxvu.4).32w,arctanwv,1gvu,yxu.19．在下列函数对)(,)(xguufy中，哪些可复合成)(xgf，其定义域为何？（1）2211g)(,)(xxguuf；（2）sinx)(,)1(lg)(xguuf；（3）xxguuflg)(,arccos)(；（4）21)(,arcsin)(xxxguuf.解：1).令0x21lgg(x)u2，所以uf(u)无意见。2).)sin1lg(g(x)fx，因为1sin1x，所以1)(2kx，zk.3).)xcos(lgarg(x)f，10.101lg11xx4).Rxxxxx212-1arcsing(x)f22，.20．设xxxf1)(，求)(xff和)(xff.解：)x1x1(x21111f(x)f，，xxxxxx)31x,21x,(x,3121121f(x)ffxxxxxx21．设)(,21,210,)1(2xgxxxxxg求.解：设1xu,则1-ux.所以g(u)1)g(x,当1x0时，2)1(g(u)u，2u1.当2x1时，1)-2(ug(u)，3u2.所以3.x2,)1(2.21,1)-(xg(x)2xx22．设)()(,0101)(22xfxfxxxxxf求，，.解：当0x时，0)(1)1()()(22xxxfxf.当0x时，011)()()(22xxxfxf.当0x时，2)()(xfxf.所以.0,2.0,0)()(xxxfxf23．设421)1(xxxxf，求)(xf.解：2)1(11)1(242xxxxxxf令xxu1所以21)(2uuf，所以21)(2xxf.24．设2lg