中科大量子力学--散射

Chapter.6.Scattering1Chapter.6散射scatteringChapter.6.Scattering2散射过程：Zθds靶粒子的处在位置称为散射中心。方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。一散射截面Chapter.6.Scattering3散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。散射截面：一散射截面(续1)Chapter.6.Scattering4设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然2dsdndr综合之，则有：或（1）Ndqdn),(dnNdnNd比例系数q(，)的性质：q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数一散射截面(续2)Chapter.6.Scattering5q(，)具有面积的量纲2][LNddnq故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。ddnNq),(（2）一散射截面(续3)Chapter.6.Scattering6总散射截面：ddqdqQsin),(),(020[注]由（2）式知，由于N、可通过实验测定，故而求得。dnd(,)q量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。(,)q一散射截面(续4)Chapter.6.Scattering7二、散射振幅现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrödinger方程ErU)(222)(2)(2222rUrVEk（4）令方程（4）改写为Chapter.6.Scattering80)]([22rVk（5）由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为，因此，在计算时，仅需考虑处的散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。rr),(qr设时，，方程（5）变为r0)(rV022k（6）令（7）r二、散射振幅(续1)Chapter.6.Scattering9将（6）式写成0ˆ22222rLkr在的情形下，此方程简化为r0222kr此方程类似一维波动方程。我们知道，对于一维势垒或势阱的散射情况（8）ikxikxkAeBexikxkcex二、散射振幅(续2)Chapter.6.Scattering10ikrefr),(),,(ikrefr),(),,(方程（8）有两个特解式中为入射波或透射波，为散射波，波只沿一方向散射。ikxeikxe对于三维情形，波可沿各方向散射。三维散射时，在处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。r二、散射振幅(续3)Chapter.6.Scattering11因此refrikr),(),,(2refrikr),(),,(2代表由散射中心向外传播的球面散射波，代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。22在处，散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波之和。即r1ikze2（9）()(,)ikrikzerAefrr二、散射振幅(续4)Chapter.6.Scattering12散射波的几率流密度****1111111()22ziiJikikzzkN入射波几率密度（即入射粒子流密度）为方便起见，取入射平面波的系数，这表明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。1||21ikxe1A（10）二、散射振幅(续5)Chapter.6.Scattering13222*2*22|),(|2frrriJr单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为),(222|(,)||(,)|rdnJdsfdsrfNd（13）2|),(|),(fq比较（1）式与（12），得到（12）（11）二、散射振幅(续6)Chapter.6.Scattering14下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。由此可知，若知道了，即可求得，称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率给定，于是，入射粒子流密度给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具体形式通过求Schrödinger方程（5）的解并要求在时具有渐近形式（9）而得出。(,)f(,)q(,)fv(,)f(,)frNv二、散射振幅(续7)Chapter.6.Scattering1522[()]0kVr取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为()(,)llmRrY讨论粒子在中心力场中的散射。（3-1）粒子在辏力场中的势能为，状态方程)(rU由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成三、分波法Chapter.6.Scattering16()(cos)llRrP方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加(,)()(cos)lllrRrP（3-2）（3-2）代入（3-1），得径向方程为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，称为第个分波，通常称的分波分别为s,p,d,f…分波)(cos)(llPrRlRrl0,1,2,3,l22221(1)()()0lldRdllrkVrRrdrdrrr（3-3）三、分波法(续1)Chapter.6.Scattering17222()()0lldUrkUrdr2222(1)()()0lldUllkVrUrdrr令()()llUrRrr代入上方程（3-4）考虑方程（3-4）在情况下的极限解r令方程（3-4）的极限形式r由此求得：()sin()lllUrAkr1()sin2lllARrkrlkr（3-5）r三、分波法(续2)Chapter.6.Scattering18为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数,2lllllAkA将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在情形下通解的渐近形式r11()()220(cos)2llikrlikrllllAeePikr01(,)sin(cos)2llllArkrlPkrr（3-6）三、分波法(续3)Chapter.6.Scattering19另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数cos0(21)()(cos)ikzikrlllleelijkrP][21)21()21(lkrilkrieeikr(,)()ikrikzerefrr（3-7）（3-8）式中jl(kr)是球贝塞尔函数将平面波按球面波展开ikze1211()()sin22lljkrJkrkrlkrkrr（3-9）三、分波法(续4)Chapter.6.Scattering20利用（3-8）、（3-9），可将（3-7）写成（3-10）11()()220(21)(,)()[](cos)2ikrlikrlikrlLlelirfeePrikrr（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即)(cos][2)21()21(0llkrilkrillPeeikrAllcos][2)12()()21()21(0LlkrilkrillikrPeeikrilref分别比较等式两边和前边的系数，得ikreikre三、分波法(续5)Chapter.6.Scattering2111()2200(cos)2()(21)(cos)lililllllllAePikflieP11()2200(cos)(21)(cos)lililllllllAePliePllllldPP122sin)(cos)(cos0lillileileAl21)21()12(（3-12）（3-11）可以得到用乘以（12）式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性)(coslP0三、分波法(续6)Chapter.6.Scattering22即（3-13）)21()12()12(llliilleleilA将此结果代入（3-11）式)(cos)12()(2)(cos)12(020lllilPlikfPell)(cos)1()12(21)(21lilPelikfl)(cos)()12(211liiilPeeeliklll)(cossin)12(10llilPelkl（3-14）三、分波法(续7)Chapter.6.Scattering23可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求的具体值关键是解径向波函数的方程（3-3）llRr由（3-8），（3-9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（3-6）知，是散射波第个分波的位相。所以，是入射波经散射后第个分波的位相移动（相移）。lllkr21lkr21llll的物理意义：l三、分波法(续8)Chapter.6.Scattering24微分散射截面（3-15）212sin)(cos)12(1|)(|)(llillePlkfqdqdqQsin)(2)(dPPellkllllillllsin)(cos)(cossinsin)12)(12(20)(002llllilllellkll122sinsin)12)(12(2)(002lllk202sin)12(4总散射截面三、分波法(续9)Chapter.6.Scattering25即（3-16）0llQQ式中（3-17）lllkQ22sin)12(4是第个分波的散射截面。l由上述看们看出：求散射振幅的问题归结为求相移，而的获得，需要根据的具体情况解径向方程（3-3）求，然后取其渐近解，并写为llUrflRr1()sin2lllRrkrkrr三、分波法(续10)Chapter.6.Scattering26即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。ll光学定理)0(Im4fkQ（证明见后）三、分波法(续11)Chapter.6.Scattering27分波