成考数学—数列

2.2等差数列第二章数列1．数列的定义(1)数列的定义：按照________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．(2)从函数观点看，数列可以看成以______________________________________________________为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．一定顺序项正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})cm11111252526262727282829293022222（1）全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位:）分别是：，，，，，，，，，，．(2)某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.(3)某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500，8000，8500，9000，10000，10500.（观察以下数列）1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数⑵由定义得等差数列的递推公式：1(nnaadd是常数）每一项与其前一项的差练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。(1)1,1,1,1,1.(2)4,7,10,13,16.(3)3,2,1,1,2,3.(4)1,2,3,4,5,6.、等差数列的通项公式1{}.nnaada思考：已知等差数列的首项为，公差为，求根据等差数列的定义得到21aad，21aad所以32aad，43aad，3211()2aadaddad4311(2)3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n11na当时，上面等式两边均为，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.n{}nmaaa思考：在等差数列中，项与有何关系？4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得1(1)naand①1(1)maamd②().nmaanmd①-②得().nmaanmd.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得：解之得a1+2d=9a1=11a1+8d=3d=-1∴这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=12–3n解法二：1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，求数列{an}的公差d2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=.3.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)解：由通项公式得：dnaan)1(110411daa731da211da35)4(919441101daadaann，所以14714)53()110()6()53-aaaaaaa（2、等差数列的通项公式1(1).naand1、等差数列的定义1(nnaadd是常数）.复习通项公式的证明及推广m(nm).naad2.3等比数列第二章数列(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)2341,,,,,(0)xxxxx(2),161,81,41,21是,公比q=21观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（q）。等比数列等比数列概念1(0nnaqqa）qaann1等比数列通项公式的推导：2nqaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa……方法二:归纳法11nnqaa等比数列,首项为,公比为q,则通项公式为:na1a11nnqaa例1:一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.解：设这个等比数列的第1项是,公比是q，那么82331612qaa3161a23q解得，，因此316答：这个数列的第1项与第2项分别是与8.1a1831qa1221qa典型例题（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.(1)一个等比数列的第5项是,公比是，求它的第1项；943151114()39a136a解得，答：它的第一项是36.解：设它的第一项是，则由题意得1a解：设它的第一项是，公比是q，则由题意得1a答：它的第一项是5，第4项是40.101qa2021qa，51a2q解得，，40314qaa因此等比数列名称等差数列概念常数性质通项通项变形dnaan)1(1dknaakn)(),(*Nkn回顾小结11nnqaaknknqaa),(*Nkn从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q)q可正可负,但不可为零从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零数列求和1.公式法常用的公式有：(1)等差数列{an}的前n项和Sn=①=②.(2)等比数列{an}的前n项和1()2nnaana1+d(1)2nn111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq例1：求和：1.468+2n+2……（）2,41da已知解：判断上题为等差数列，等差数列的求和公式为：Sn=na1+d(1)2nnnnnnnnnnSn3422)1(422例1：求和：231111212222n.解：判断上题为等比数列，等比数列的求和公式为：1(1)S=1)1nnaqqq（21,11qa已知1)21(221)21(1211))21(1(1nnnnS例1：求和：23.nxxx解：判断上题为等比数列，等比数列的求和公式为：1(1)S=1)1nnaqqq（xqxa,1已知xxxSnn1)1(