2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及应用模拟演练

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·北京高考]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当|a|＝|b|＝0时，|a|＝|b|⇔|a＋b|＝|a－b|.当|a|＝|b|≠0时，|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，推不出|a|＝|b|.同样，由|a|＝|b|也不能推出a⊥b.故选D.2．已知向量a与b的夹角是π3，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝()A．－32B．32C．－2D．2解析因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a＝3a2＋λa·b＝3＋2λ＝0，解得λ＝－32.3．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→＝()A．5B．4C．3D．2解析AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD→·AC→＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.4．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM→＝2AM→，则CM→·CA→＝()A．18B．3C．15D．12解析由题意可得△ABC是等腰直角三角形，AB＝32，AM→＝BA→，故CM→·CA→＝(CA→＋AM→)·CA→＝CA→2＋AM→·CA→＝9＋(CA→－CB→)·CA→＝9＋CA→2－CB→·CA→＝9＋9－0＝18，故选A.5．[2014·四川高考]平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝5，|b|＝25，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴c·a|c|·|a|＝c·b|c|·|b|，∴5m＋85＝8m＋2025，解得m＝2.6．[2016·山东高考]已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．－5解析根据已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥(ta＋b)，得a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.7.已知a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|＝______.4解析因为|a＋b|＝13，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|·cos120°＝13，所以9＋|b|2－3|b|＝13，解得|b|＝4.8．如下图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则AD→·BC→＝________.－52解析利用向量的加减法法则可知AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(－AB→＋AC→)＝12(－AB→2＋AC→2)＝－52.9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝7.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝12，∴|a||b|cosθ＝12，即cosθ＝12，又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为π3.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝13.10．如图所示，AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)．(1)若BC→∥DA→，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC→⊥BD→，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解(1)因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，又BC→∥DA→，且BC→＝(x，y)，所以x(y－2)－y(x＋4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于AC→＝AB→＋BC→＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x－2，y－3)，又AC→⊥BD→，所以AC→·BD→＝(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②联立①②化简，得y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)，所以S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16；当y＝－1时，x＝2，此时AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)，所以S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16.[B级知能提升](时间：20分钟)11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π6解析由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝a－b·b|a－b||b|＝－|b|22|a|3|a|＝－3|a|223|a|2＝－32，所以θ＝5π6.12．[2017·金版原创]在Rt△ABC中，C＝π2，B＝π6，CA＝2，则|2AC→－AB→|＝()A．5B．4C．3D．2解析解法一：由已知可得AB＝2sinπ6＝4，A＝π3，则|2AC→－AB|＝2AC→－AB→2＝4AC→2－4AC→·AB→＋AB→2＝16－4×2×4×cosπ3＋16＝4，故选B.解法二：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，依题意C(0,0)，A(2,0)，B(0，23)，∴2AC→－AB→＝(－4,0)－(－2，23)＝(－2，－23)，∴|2AC→－AB→|＝4＋12＝4，故选B.13．[2015·福建高考]已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值等于________．13解析∵AB→⊥AC→，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B0，1t，C(t,0)，则AP→＝0，1t1t＋4t，0t＝(4,1)，故点P的坐标为(4,1)．PB→·PC→＝－4，1t－1·(t－4，－1)＝－4t－1t＋17＝－4t＋1t＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t＝1t，即t＝12时(负值舍去)取得最大值13.14．已知向量a＝sinx，32，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求tan2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在－π2，0上的值域．解(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－32·cosx＝0，即sinx＋32cosx＝0，tanx＝－32，∴tan2x＝2tanx1－tan2x＝125.(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sinxcosx－32＋cos2x＋1＝12sin2x－32＋12cos2x＋12＋1＝22sin2x＋π4.∵－π2≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－3π4≤2x＋π4≤π4，∴－22≤22sin2x＋π4≤12，∴f(x)在－π2，0上的值域为－22，12.