多维随机变量及其分布

第1页绍兴文理学院第三章多维随机变量及其分布§3.1多维随机变量及其联合分布§3.2边际分布与随机变量的独立性§3.3多维随机变量函数的分布§3.4多维随机变量的特征数§3.5条件分布与条件期望第2页绍兴文理学院§3.1多维随机变量及其联合分布一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标3.3.1多维随机变量定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.同理可定义n维随机变量(随机向量).第3页绍兴文理学院第三章知识框架图作为整体：联合分布函数离散型：联合分布列连续型：联合密度函数作为个体：边际分布函数离散型：边际分布列连续型：边际密度函数相互关系X,Y是否独立？X,Y是否相关？数字特征：协方差、相关系数，等条件分布二维随机变量(X,Y)第4页绍兴文理学院定义3.1.23.1.2联合分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)为(X,Y)的联合分布函数.任对实数x和y,称二元函数注意：F(x,y)为随机点(X,Y)落在点(x,y)的左下区域内的概率.第5页绍兴文理学院xyO(x,y)第6页绍兴文理学院联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调不减.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当ab,cd时，有F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(aXb,cYd).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)第7页绍兴文理学院反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例1已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为(,)[arctan()][arctan()]23xyFxyABC（1)求常数A，B，C；（2)求P{X≤2,0Y≤3}第8页绍兴文理学院例2设二元函数0,0,(,)1,0xyGxyxy问G(x,y)能否作为某二维随机变量的联合分布函数？第9页绍兴文理学院二维离散随机变量3.1.3联合分布列若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.第10页绍兴文理学院二维离散分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………第11页绍兴文理学院联合分布列的基本性质(1)pij0,i,j=1,2,…(2)pij=1.(非负性)(正则性)第12页绍兴文理学院例3设随机变量Y~N(0,1),120,10,2,1,11,2YYXXYY求的联合分布列.例4从1，2，3，4中任取一个数记为X，再从1，…,X中任选一个数记为Y.（1）求(X,Y)的联合分布列，（2）求P(X2,Y≤3),(3)求F(2.5,2).第13页绍兴文理学院例5一射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0p1),射击直到击中目标两次为止。记X表示首次击中目标的射击次数，Y表示总共进行的射击次数。求X和Y的联合分布列。练习：设100件产品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品。从中任取5件，X,Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，试求(X,Y）的联合分布列.第14页绍兴文理学院3.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称p(x,y)为联合密度函数。几何意义：F(x,y)表示以区域（-∞，x]×(-∞,y]为底以f(x,y)为曲顶的空间立体的体积.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数p(x,y)，使得第15页绍兴文理学院联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.(非负性)(2)(正则性)注意：(,)(,)ddDPXYDpxyxy2(,)(,).Fxyfxyxy若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有第16页绍兴文理学院例6设(X,Y)的联合概率密度为求（1）；（2）P{X+Y1}.,01,0(,)0,.xyxyxfxy，其它第17页绍兴文理学院求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）263PXY，0,00sinsin,0,022(,)sin,0,22sin,,0221.22xyxyxyFxyxxyyxyxy或，，，，,例7设(X,Y)的联合分布函数为第18页绍兴文理学院一、多项分布3.1.5常用多维分布若每次试验有r种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi,i=1,2,……,r记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：例8P150第1题.第19页绍兴文理学院二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.口袋中有N只球，分成r类。第i种球有Ni只，N1+N2+……+Nr=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：第20页绍兴文理学院三、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从D上的二维均匀分布，记为(X,Y)U(D).其中SD为D的面积.例9P148例3.1.6第21页绍兴文理学院四、二维正态分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N().第22页绍兴文理学院第23页绍兴文理学院五、二维指数分布例10见P144例3.1.3(23),0,0(,)0,xyAexypxy其它求（1）A；（2）P{XY}；（3）联合分布函数F(x,y);(4)F(1/2,1/3).设(X,Y)～作业：习题3.1第2、3、6、8、9、11、13、15题第24页绍兴文理学院选作题已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.xyo1xy11第25页绍兴文理学院§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？第26页绍兴文理学院3.2.1边际分布函数已知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则YFY(y)=F(+,y).XFX(x)=F(x,+),第27页绍兴文理学院10,0(,)0,xyxyxyeeexyFxy+,其他例1已知(X,Y)的联合分布函数为求FX(x)与FY(y).该分布称为二维指数分布.此例说明什么问题？第28页绍兴文理学院3.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则X的边际分布列为：Y的边际分布列为：第29页绍兴文理学院XY12jyyy12ixxx111212122212jjiiijpppppppppip12ipppjp12jppp练习：P159第1题第30页绍兴文理学院3.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，则X的边际密度函数为：Y的边际密度函数为：第31页绍兴文理学院例2P147例3.2.3（X,Y)的联合概率密度为（1)求关于X,Y的边际概率密度；（2）求P(X+Y1).1,01,||(,)0,xyxpxy其它第32页绍兴文理学院例3P160第3题设(X,Y)服从区域D={(x,y),x2+y21}上的均匀分布，求X，Y的边际密度函数.xy-1121yx21yx二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.第33页绍兴文理学院注意点二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N()，则XN()，YN().第34页绍兴文理学院请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答第35页绍兴文理学院),sinsin1(eπ21),(),(222yxyxfYXyx的联合密度函数为令222211()e,()e.2π2πxyXYfxfy因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.显然，(X,Y)不是二维正态分布，但是第36页绍兴文理学院3.2.4随机变量间的独立性若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pi.p.jiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称X与Y是相互独立的.第37页绍兴文理学院性质,PaXbcYdPaXbPcYd任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y是相互独立的，则它们的函数g(X)与h(Y)也是相互独立的.(1)X与Y是独立的，其本质是：第38页绍兴文理学院例4设(X,Y)的联合分布列为:X01Y010.30.40.20.1问：X与Y是否独立？看书中P157例3.2.6练习：P160第10题第39页绍兴文理学院例5已知(X,Y)的联合密度为8,01(,)0,xyxypxy其他问X与Y是否相互独立？定理若联合密度p(x,y)可分离变量，即p(x,y)=g(x)h(y)则X与Y相互独立。练习：习题3.2第14题第40页绍兴文理学院注意(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.(2)(X,Y)服从其他区域上的均匀分布，则X与Y不独立.(3)若(X,Y)服从二元正态N()则X与Y独立的充要条件是=0.第41页绍兴文理学院作业：习题3.2第4、5、12、13题第42页绍兴文理学院§3.3多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？第43页绍兴文理学院3.3.1多维离散随机变量函数的分布(2)多维离散随机变量函数的分布列容易求得：i)对(X1,X2,…,Xn)的各种可能取值对，写出Z相应的取值.ii)对Z的相同取值，合并其对应的概率.(1)设(X1,X2,…,Xn)是n维离散随机变量，则Z=g(X1,…,Xn)是一维离散随机变量.第44页绍兴文理学院(1)求Z＝X＋Y的分布列;(2)求W＝XY的分布列;(3)求M＝max(X,Y)的分布列；(4)求N＝min(X,Y)的分布列.YX012－10.30.20.100.20.10.1例1设(X,Y)的联合分布列为第45页绍兴文理学院离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+Y的分布列为1()()()kikiiPzPXxPYzxZ第46页绍兴文理学院例2（泊松分布的可加性）设X~P(1),Y~P(2),且X与Y相互独立，求证：Z=X+Y~P(1+2).注意：XY不服从泊松分布.第47页绍兴文理学院二项分布的可加性若Xb(n,p)，Yb(m,p)，注意：若Xib(1,p)，i=1,2,…,n且相互独立，则Z=X1+X2+……+Xnb(n,p).且独立，则Z=X+Yb(n+m,p).第48页绍兴文理学院3.3.2最大值与最小值的分布例3设X与Y独立，且X,Y等可能地取值-1和1.（1）求Z=max(X,Y)的分布列.（2）求P(XY=1)=？（3）求P(X+Y=0)=?第49页绍兴文理学院连续情况Y=max(X1,X2,…,Xn),Z=min(X1,X2,…,Xn)则Y的分布函数为:FY(y)=[F(y)]nZ的分布函数为:FZ(z)=1[1F(z)]n设X1,X2,……Xn,独立同分布，其分布函数均为F(x).若记第50页绍兴文理学院例4见P173第3题设一设备有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间均服从参数为λ的指数分布。当3个元件都正常工作时，设备才正常工作。求设备正常工作时间T的概率分布。自学P166例3.3.6练习:习题3.3第5题设P(