利用导数求函数的单调区间、极值和最值

中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部1精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号____________________学员编号：年级：课时数及课时进度：3（3/60）学员姓名：辅导科目：学科教师：学科组长/带头人签名及日期课题利用导数学求函数单调区间、极值和最值授课时间：备课时间：教学目标1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性；2、能用导数求函数的极值和最值。重点、难点考点及考试要求教学内容一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间1.定义：一般地，设函数)(xfy在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)('xf，那么函数)(xfy在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0)('xf，那么函数)(xfy在为这个区间内的减函数.2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数)('xf.②令0)('xf解不等式，得x的范围就是递增区间.③令0)('xf解不等式，得x的范围，就是递减区间.例14、.x＞0时，证明不等式：exx221.中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部2二、利用导数求函数的极值1、极大值一般地，设函数)(xf在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有)()(0xfxf，就说)(0xf是函数的一个极大值，记作xyf0极大值，x0是极大值点奎屯王新敞新疆2、极小值一般地，设函数)(xf在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有)()(0xfxf就说)(0xf是函数)(xf的一个极小值，记作xyf0极小值，x0是极小值点奎屯王新敞新疆3、极大值与极小值统称为极值奎屯王新敞新疆在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值奎屯王新敞新疆请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念奎屯王新敞新疆由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（ⅱ）函数的极值不是唯一的奎屯王新敞新疆即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而)()(14xxff.（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点奎屯王新敞新疆而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点奎屯王新敞新疆f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy4、判别xf0是极大、极小值的方法:若x0满足0)(0'xf，且在x0的两侧)(xf的导数异号，则x0是)(xf的极值点，xf0是极值，并且如果)('xf在x0两侧满足“左正右负”，则x0是)(xf的极大值点，xf0是极大值；如果)('xf在x0两侧满足“左负右正”，则x0是)(xf的极小值点，xf0是极小值奎屯王新敞新疆5、求可导函数)(xf的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数)('xf奎屯王新敞新疆中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部3(2)求方程0)('xf的根奎屯王新敞新疆(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)('xf在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(xf在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(xf在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(xf在这个根处无极值奎屯王新敞新疆例16、求44313xyx的极值.例17、函数xxaxf3sin31sin)(在3x处具有极值，求a的值.例18、xbxayx2ln在1x和2x处有极值，求ba、的值奎屯王新敞新疆例10、已知函数aaxxxaxf322393)(（1）设1a，求函数)(xf的极值；（2）41a，且当aa4,1时，axf12)('恒成立，试确定a的取值范围。中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部4例11、已知函数)(2)(234Rxbaxfxxx，其中Rba,。（1）当310a时，讨论函数)(xf的单调性；（2）若函数)(xf在10x处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的2,2a，不等式1)(xf在1,1上恒成立，求b的取值范围。例19、确定函数12xxy的单调区间，并求函数的极大、极小值.例20、求函数xxy25431的极值与极值点.例21、求函数xyxln2的极值.中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部5三、利用导数求函数的最大值与最小值1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与)(3xf是极小值，)(2xf是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是)(1xf．一般地，在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间ba,内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在,0内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个奎屯王新敞新疆2、用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(xf在ba,上连续，在ba,内可导，则求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在ba,内的极值；⑵将)(xf的各极值与)()(bfaf、比较得出函数)(xf在ba,上的最值.例22、.求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值奎屯王新敞新疆例23、.已知xbaxxfx23log)(,),0(x.是否存在实数ba、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf在)1,0(上是减函数，在,1上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ba、，若不存在，说明理由.中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部6例24、若函数112131)(23xaaxfxx在区间)4,1(内为减函数，在区间),6(上为增函数，试求实数a的取值范围．例25、已知函数)0()(3adcxaxfx是R上的奇函数，当1x时)(xf取得极值2，（1）求)(xf的单调区间和极大值；（2）证明对任意)1,1(,21xx，不等式421xxff恒成立．例26、设函数)0,,(5213)(23aRbaxbaxfxx的定义域为R，当xx1时，取得极大值；当xx2时取得极小值，21x且421xx．（1）求证：021xx；（2）求证：aab41622)1(；（3）求实数b的取值范围．中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·教学服务部7例27、已知0,1cb，函数bxxf)(的图象与函数cbxxgx2)(的图象相切，（1）求cb,的关系式（用c表示b）；（2）设函数)()()(xgxfxF在,内有极值点，求c的取值范围