数值分析第五章数值实验

数值分析第五章数值实验之数值拟合1.实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。2.实验内容：给定数据点(,)iixy如下：ix00.50.60.70.80.91.0iy11.751.962.192.442.713.003.实验要求：（1）编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，作出离散函数(,)iixy和拟合函数的图形。（2）用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）的结果进行比较。4.实验步骤：（1）首先根据上述表格中给定的数据点(,)iixy，用MATLAB程序画出散点图。在MATLAB工作窗口输入程序x=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];plot(x,y,'r*'),legend('数据点（xi,yi）'),x1abel('x'),y1abel('y'),title('本实验的数据点（xi,yi）的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图，如下图1-1图1-1表中给出的数据的散点图因为数据的散点图1-1的变化趋势与二次多项式很接近，所以取组函数21,,xx，令2123()(11)fxaxaxa用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB程序求待定系数ka(1,2,3)k.输入程序x=[00.50.60.70.80.91.0];a=polyfit(x,y,2)运行后输出（1-1）式的系数a=1.00001.00001.0000故拟合多项式为2()1fxxx用MATLAB程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形。输入程序:xi=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];n=length(xi);f=xi.^2+xi+1;x=0:0.001:1.0;F=x.^2+x+1;fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n),plot(xi,y,'r*',x,F,'b-'),legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)'),x1abel('x'),y1abel('y'),title('本实验的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据(,)iixy与拟合函数f的最大误差wE，平均误差1E和均方根误差2E及其数据点(,)xiyi和拟合曲线()yfx的图形，见图1-2.Ew=4.4409e-016E1=6.3441e-017E2=1.6785e-016图1-2数据散点图和拟合曲线(2)用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数,输入程序为：x=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];a=polyfit(x,y,2)a=1.00001.00001.0000x=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];a=polyfit(x,y,3)a=-0.00001.00001.00001.0000由此可知拟合的多项式为二次多项式，其系数为a=1.00001.00001.0000拟合的多项式为2()1fxxx求拟合多项式的平方误差，输入程序为xi=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];n=length(xi);f=xi.^2+xi+1;fy=abs(f-y);E1=sum(fy)/n运行后屏幕显示数据(,)iixy与拟合函数f的平均误差1E：E1=6.3441e-017用MATLAB的内部函数plot作出其图形。输入程序为：x=[00.50.60.70.80.91.0];y=[11.751.962.192.442.713.00];plot(x,y)运行后拟合多项式的图形如图1-3.5.实验分析：编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据(,)iixy与拟合函数f的最大误差Ew=4.4409e-016，平均误差E1=6.3441e-017和均方根误差E2=1.6785e-016非常小都达到了很高的精度要求，及其通过散点求得的拟合曲线()yfx的图形比较光滑。而用MATLAB的内部函数polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的内部函数plot作出的图形有明显的尖点，不够光滑。图1-3多项式拟合曲线