矩阵可逆的判别方法

矩阵可逆的若干判别方法学院：数学与数量经济学院班级：数学与应用数学1班姓名：黄新菊学号：1250411025内容摘要：学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。并且还可以物理、经济等各种问题。有重要的理论和实践意义。所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。关键词：矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。导言：高等代数已经学了差不多两个学期。自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。有关矩阵的逆的定义：定义1：n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是级单位矩阵.即称A可逆，B为A的逆。(AB1)定义2：设矩阵aaaaaaaaaAnnnnnn.....................212222111211中元素aij的代数余子式，矩阵AAAAAAAAAAnnnnnn.....................212222111211*称为A的伴随矩阵。定义3：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而)0(1*1AddAA。定义4：数域P上的n×n矩阵A称为非退化的，如果0A；否则称为退化的。定义5：矩阵的三种初等行（列）变换：互换某两行（列）的位置；用非零的数乘某一行（列）；把某一行（列）的倍数加到另一行（列）。……有关矩阵的逆的性质:性质1:AA1''1;性质2:ABAB111;性质3:AkkA111;性质4:AA11;性质5:矩阵A与它的伴随矩阵A*具有相同的可逆性.即A可逆AAA*1*……矩阵可逆的若干判别方法①定义判别法设对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B满足条件AB=E且BA=E,就称A可逆，并且称B为A的逆，记B=A1。这种方法可以直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵是可逆的。此种方法大多适用于简单矩阵和一些非具体矩阵的判断。eg：A=[1101],求A−1.解：取矩阵[1−101]，由于[1101][1−101]=[1001]，[1−101][1101]=[1001]。即A−1=[1−101]②矩阵行列式判别法矩阵A可逆的充分必要条件是A是方阵且|A|≠0（非退化）。aaaaaaaaaAnnnnnn.....................2122221112110.....................212222111211aaaaaaaaannnnnnAeg：A=[2231−10−121]，判断A是否可逆。解：由于|A|=|2231−10−121|=−1≠0.则A可逆。③秩判别法n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的秩为n.(r(A)=n）.eg：设矩阵A=762741321，判断矩阵可逆。解：由300210321120420321762741321知，矩阵A为3阶矩阵，其秩也为3.则矩阵A=762741321可逆。④伴随矩阵判别法矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而)0(1*1AddAA。证明：当0Ad，由EAddAAA**11可知，A可逆，且AAd*11。反过来，如果A可逆，那么有A1使EAA1，两边取行列式，得11EAA.因为0A即A非退化。)0(1*1AddAA即是求可逆矩阵的公式。eg：A=[2231−10−121]，判断A是否可逆。求A−1.解：由于|A|=|2231−10−121|=−1≠0.A∗=[−143−1531−6−4]。则，A−1=1dA∗=[1−4−31−5−3−164]⑤初等变换判别法对矩阵A施行初等行（列）变换得到的矩阵B，则B可逆。可推知A可逆。因为初等行列变换是等价变换，即不会改变A的秩，所以A和B秩相同，故A与B有相同的可逆性。从而B可逆可推知A可逆。求矩阵的逆矩阵的方法(A|E)初等行变换→(E|A−1)(AE)初等列变换→(EA−1)⑥初等矩阵判别法A是可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积：QQQQAs......321根据⑤⑥举例设012411210A，求A1。解：21123100124010112001123200124010112001123200001210010411120830001210010411100012001210010411100012010411001210于是211231241121A上面给出用初等行变换的方法求出矩阵的逆矩阵。当然，同样可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵来求出矩阵的逆矩阵。⑦线性方程组判别法齐次线性方程组.0;0;0...............221122221211212111xaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn即AX=0（A为该方程组的系数矩阵）只有零解。即A可逆。非齐次线性方程组.;;...............22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn即AX=0（A为该方程组的系数矩阵）有唯一解。即A可逆。证明：，齐次线性方程组的系数矩阵为aaaaaaaaaAnnnnnn.....................212222111211，用n......,21分别代表矩阵各列，)1(21,......,,njnjjjaaaTj。则齐次线性方程组可以写成向量形式0......2211nnxxx且只有零解，则0...21xxxn从而n......,21线性无关，且n......,21线性无关的充分必要条件是A可逆。非齐次线性方程组的系数矩阵为aaaaaaaaaAnnnnnn.....................212222111211，用n......,21分别代表矩阵各列，)1(21,......,,njnjjjaaaTj。则齐次线性方程组可以写成向量形式nnxxx......2211由0A知，n......,21为nnxxx......2211的一组基，则每一都可以写成n......,21的线性组合的形式，则xxxn,......,,21由唯一确定。即方程组有唯一解。反过来，若方程组有唯一解，则必然有0A则矩阵A可逆。⑧特征值判别法n×n矩阵A可逆，即矩阵A的特征值全部不为零。证明:充分性：因为所有特征值全不为零，而所以特征值之积等于A，故A0，从而A可逆。必要性:假设n×n的矩阵A的特征多项式为，则，根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于A，又由A可逆，知A0，故所有特征值全不为零。eg:矩阵A=[021−203−1−30]，用特征值的方法判断矩阵是否可逆。解：特征方程式|λE−A|=|λ−2−12λ−313λ|=(λ−1)2（λ+2）则，由于|λE−A|=0时，特征值λ1=1，λ2=1，λ3=−2.那么没有特征值为0，则矩阵可逆。⑨多项式判别法n×n矩阵A可逆，即有特征多项式f（x），满足f（A）=0，且常数项不为零。⑩标准形判别法n阶方阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的标准形是E(n).证明：任何一个矩阵都可经过初等行或列变换化成标准的对角阵。那么，如果n阶方阵A可逆，那么A的矩阵的秩只能为n，即标准形一定为单位矩阵。反过来，如果矩阵的标准形是E(n)，即n阶单位矩阵，则矩阵A的秩为n，故A可逆。结语判断矩阵的可逆性，一定不止上上面所述的十种，而根据这些方法，我们已经可以解决一些常见有关矩阵和矩阵的逆的问题，对于学习高等代数有关矩阵的部分有着很大的作用。希望老师在课堂授课时多提及这类问题的研究思想方向，帮助我们更好的理解矩阵和矩阵的逆。并且，应该好好学习高等代数，不管以后要不要考研究生，高等代数作为一门基础数学学科，是高等学校数学类本科生的重要必修课程，特别是数学专业。学好高等代数为以后的学习一定大有裨益。所以，要常思考，常动手计算。参考文献王萼芳,石生明修订。高等代数[M].(第三版).北京:高等教育出版社。李星，李宏伟修订。高等代数学习指导与习题解析。华中科技大学出版社。丘维声修订。高等代数。中国水利水电出版社。阳庆节修订。高等代数简明教程。中国人民大学出版社。张禾瑞、郝炳修订。《高等代数习题指导书》（第三版）学习指导。