《土木工程测量》第07章测量误差理论

Dept.ofRE,CSU中南大学第七章：测量误差与平差（118Slides）《土木工程测量》课件中南大学土木建筑学院道路工程系Dept.ofRE,CSU中南大学本章将要讨论的主要内容测量误差与精度评定的标准误差传播定律及其应用等精度独立观测值的最可靠值及其中误差按真误差求观测值的中误差不等精度观测系统的中误差估计最小二乘原理与条件平差Dept.ofRE,CSU中南大学§7－1测量误差与评定精度的标准一、测量误差及其来源1、测量误差现象：设某一量的真值为X，实际观测所得数值为观测值，由于观测值中带有测量误差，因此各个观测值不可能等于真值，其与真值之差定义为观测值的真误差。iiLiLiXLiiDept.ofRE,CSU中南大学2．测量误差的来源观测值中存在误差有下列三方面原因（1）测量仪器测量仪器存在构造上的缺陷或仪器本身精密度有一定限度。例：①水准仪：CC不平行LL②经纬仪:CC不垂直HH③卷尺的尺长（2）观测者感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。例：对中、照准和读数（3）外界条件温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素例：距离丈量；角度和高程测量仪器观测者外界环境这三个因素被统称为观测条件Dept.ofRE,CSU中南大学3．观测条件与精度仪器观测者外界环境等精度观测：相同观测条件下进行的观测，测量成果的质量可以说是相同的。不等精度观测：不同观测条件下进行的观测。误差理论研究的目的：(1)确定最可靠值(2)评定测量的精度(3)确定误差的限度这三个因素被统称为观测条件Dept.ofRE,CSU中南大学二、测量误差分类及处理1、系统误差(Systematicerror)（1）概念：在相同的观测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。例：量距；水准；角度；（2）来源：①仪器自身的缺陷②观测者的习惯③外界条件（3）特点：积累性——对测量结果影响较大（4）处理方法：①用计算的方法加以改正②用一定的测量方法中以消除③校正仪器Dept.ofRE,CSU中南大学系统误差举例30m的钢尺，经鉴定其实际长度为30.005m，则用该尺每丈量一整尺就有+5mm的误差，随尺段数成比例地增加，并保持其符号不变。水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数误差，它与视线长度成正比而符号不变。经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。Dept.ofRE,CSU中南大学二、测量误差分类及处理（续）2、偶然误差(Stochasticerror)（1）概念：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若单个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律。例：估读小数；量距插钎；照准读数；（2）来源：①仪器②观测者的感官能力的限制③外界条件（3）特点：统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显（4）处理方法：误差理论Dept.ofRE,CSU中南大学偶然误差举例水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样。水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样。注意：偶然误差的出现是不可避免的，其出现纯属偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。Dept.ofRE,CSU中南大学比较：系统误差与偶然误差1、偶然误差大小与符号，无法预知，在发生之前不存在；2、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以重现的；3、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统计规律。Dept.ofRE,CSU中南大学二、测量误差分类及处理（续）3、粗差(Grosserror)粗差是指超出正常观测条件所出现的、而且数值超出规定的误差。误差量级远远大于前两者，是由于观测或操作失误、记录粗心所造成的。随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。20世纪60年代后期，荷兰巴尔达（W.Baarda）教授提出的测量可靠性理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检验等理论体系，为粗差的剔除提供了一些有效的解决方法。带有偶然误差的观测列：在一系列观测值中剔除粗差及消减系统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。Dept.ofRE,CSU中南大学必要的提示观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、或返工重测。观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数/乘常数改正、和气象改正等。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。Dept.ofRE,CSU中南大学实例：观测误差对模型参数确定的影响理论模型Dept.ofRE,CSU中南大学观测点位存在偶然误差时，参数求解结果理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参数：a=10.2b=4.9Dept.ofRE,CSU中南大学理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8观测点位存在粗差时，参数求解结果含粗差点位Dept.ofRE,CSU中南大学三、偶然误差的特性从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。下面，我们从一个实例——多个三角形内角和的误差——来看偶然误差的特性。Dept.ofRE,CSU中南大学观测实例观测值：三角形内角和L真值：任一三角形内角和的真值X为180°XLXcbaLiii:180:,:真误差真值观测值aibici所观测的三角形个数：n=162三角形内角和真误差统计表误差直方图误差区间误差出现的频率一定区间内的dnvi2.0d图中正态分布曲线Dept.ofRE,CSU中南大学偶然误差的特性总结（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零，简称有界性；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，简称单峰性；（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称对称性；（4）偶然误差的数学期望为零，简称补偿性。即0][limlim,0)(1nnEnniin或Dept.ofRE,CSU中南大学准确度(Accuracy)-精确度(Precision)Accuracyreferstohowcloseameasurementistothetruevalueofwhatisbeingmeasured.Precisionreferstohowclosemeasurementsofthesamequantityaretoeachother,eveniftheyarenotclosetothetruevalue.Forexample,thedartsonthedartboardsbelowrepresentsetsofmeasurements.Abull'seyerepresentsaperfectmeasurement--ameasurementexactlythesameasthetruevalue.Dept.ofRE,CSU中南大学NeitherPreciseNorAccurateSincenoneofthedartsareclosetothebull'seye,themeasurementstheyrepresentarenotveryaccurate.Also,sincethedartsarenotveryclosetoeachother,thesetoffivemeasurementshereisnotverypreciseeither.Dept.ofRE,CSU中南大学PreciseandAccurateThemeasurementsareallclosetothetruevalue,sotheyareaccurate.Also,themeasurementsareallclosetoeachother,sotheyareprecise.Dept.ofRE,CSU中南大学PreciseButNotAccurateSinceallofthemeasurementsareclosetogether,theyareprecise,butsincetheyarenotclosetothetruevalue,theyarenotaccurate.Dept.ofRE,CSU中南大学NeitherPreciseNorAccuratePreciseButNotAccuratePreciseandAccurateDept.ofRE,CSU中南大学四、衡量精度的指标虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的高低，但此方法并不实用。对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需要评定精度的标准。观测条件相同——精度相同——对应一条误差分布曲线精度：离散程度，不是误差大小测量中评定精度的标准有以下这些方差、中误差容许误差相对误差Dept.ofRE,CSU中南大学1、方差与中误差方差(Variance)是反映一组观测值离散程度的一个数字指标。其数学定义为：中误差(Standarddeviation)：方差的平方根测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。nEEEDn][lim)()()()(2222nEDn][lim)()(2Dept.ofRE,CSU中南大学方差与中误差（续）实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量中常用m来表示真误差的估值。即n][ˆmn][ˆ2ˆDept.ofRE,CSU中南大学中误差计算实例76.4625)4()1()7(686.26)3(0)1()2(25222222222222mm乙甲有甲乙两组，各自观测了6个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三内角和的真误差）Dept.ofRE,CSU中南大学偶然误差理论分布曲线—正态(高斯)分布21221121)(21)(0ff22221)(efIσσ-21-σσ0++12ΔII12σ2f()π1σ1π2Δ曲线I表现较陡峭，即误差分布比较集中，或称离散度较小，故观测精度较高。Dept.ofRE,CSU中南大学中误差的几何意义可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。22221)(ef故得由010)1(21)(2222222efDept.ofRE,CSU中南大学2、容许误差容许误差定义由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许误差或称极限误差。由概率计算可知955.021)22(22222deP　＜＜997.021)33(33222deP　＜＜683.021)(222deP　＜＜Dept.ofRE,CSU中南大学222)(21)(sxxexf大于3倍中误差的真误差实际上是不可能出现的。因此，通常以3倍中误差作为偶然误差的极限值。在测量工作中一般取2倍中误差作为观测值的容许误差，即Δ容=2m当某观测值的误差超过了容许的2倍中误差时，将认为该观测值含有粗差，而应舍去不用或重测。Dept.ofRE,CSU中南大学3、相对误差真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲(单位)，它们被称为“绝对误差”。相对中误差：观测值误差的绝对值与相应观测值之比相对中误差，相对容许误差，相对闭合差，相对较差等T1观测值误差的绝对值相对误差Dept.ofRE,CSU中南大学相对误差应用实例例：甲组：量