搜索
本章概述内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。考情分析2007年4月2007年7月2007年10月单项选择题2题4分3题6分2题4分填空题4题8分4题8分4题8分计算题1题8分1题8分合计7题20分8题22分6题12分内容讲解§1.1随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。结论：随机现象是不确定现象之一。2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。E3：记录110报警台一天接到的报警次数。E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。注：与集合包含的区别。相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。性质：①，；②若；则。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6}（3）积事件概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。性质：①，；②若，则AB＝A。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3,4}（4）差事件概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.性质：①A－；②若，则A－B＝。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2}（5）互不相容事件概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。推广：n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，…n。举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。（6）对立事件：概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立性质：①；②，；③A－B＝＝A－AB；注意：教材第5页的第三条性质有误。④A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质①（和、积）交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；③（和、积）分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）④对偶律；.例1习题1.1，5（1）（2）设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：【答疑编号：12010201】证明：【答疑编号：12010202】证明：例2.习题1.1，6请用语言描述下列事件的对立事件：（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”；【答疑编号：12010203】答案：：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。【答疑编号：12010204】答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。§1.2概率1.频率与概率（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生nA次，则称nA为事件A发生的频数；而比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A）.（2）fn（A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.（3）由频率的性质推出概率的性质①推出①②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1③A，B互不相容，推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；②每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：例3.P9例1－8。抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正面”，试求P（A），P（B），P（C）。【答疑编号：12010301】解法1设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间Ω={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，样本点总数n=8，又因为A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}，所以A，B，C中样本点数分别为rA=3，rB=1，rc=7，则解法2抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”，i＝1，2，3，而且rA=3。显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数rB=1而C与B为对立事件，它包含的基本事件数rC=n-rB=23-1=7，故例4.P10例1－12。一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；【答疑编号：12010302】（2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。【答疑编号：12010303】试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。解：（1）（2）3.概率的定义与性质（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：①P（A）≥0；②P（Ω）＝1；③设，，…，，…是一列互不相容的事件，则有.（2）性质①，；②对于任意事件A，B有；③；④.例5.习题1.211设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求【答疑编号：12010304】解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB）∴P（AB）＝P（A）－P（A－B）＝0.7－0.3＝0.4例6.习题1.213设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝，P（AC）＝0。求：（1）A，B，C中至少有一个发生的概率；【答疑编号：12010305】（2）A，B，C全不发生的概率。【答疑编号：12010306】解：（1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）§1.3条件概率1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）.例7P13例1－17.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？【答疑编号：12010401】（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？【答疑编号：12010402】解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：（1）（2）计算公式：设AB为两个事件，且P（B）0，则。乘法公式：当P（A）0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；当P（B）0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）.推广：①设P（AB）0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）②设，则例8P15例1－22.盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。【答疑编号：12010403】解：设Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为2.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件，，…，满足如下两个条件：①，，…，互不相容，且，i＝1，2，…，n；②，即，，…，至少有一个发生，则称，，…，为样本空间Ω的一个划分。当，，…，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，…，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，则.证明：注意：当0P（A）1时，A与就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最简单形式：例9P15例1－24盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取球取到白球的概率。【答疑编号：12010404】解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，则例10P16例1－25在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率分别为5%，4%，3%，求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率。【答疑编号：12010405】解：设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”，A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”，A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”，B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”，则由全概率公式得＝30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，…，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，且P（B）0，则，i＝1，2，…，n.注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.例题11P17例1－28【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。【答疑编号：12010406】解：由贝叶斯公式，例题12P17例1－29【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？【答疑编号：12010407】解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则P（A）=0.01，，P（B|A）=0.9，由全概率公式得=0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585再由贝叶斯公式得§1.4事件的独立性1.事件的独立性（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立