第四章-多项式环与有限域

第4章多项式环与有限域第4章多项式环与有限域4.1子环与理想4.2多项式剩余类环4.3循环群4.4有限域(Galoias域)的乘法结构4.5有限域的加法结构4.6有限域的代数结构与多项式的因式分解习题第4章多项式环与有限域§4.1子环与理想一、子环类似于子群，在环中也可定义子环。定义4.1.1若环中的子集S，关于R中的代数运算也构成环，则称S是R的子环，R为S的扩环。定理4.1.1非空子集S是R的子环的充要条件是：(1)对任何两个元素a,b∈S，恒有a-b∈S；(2)对任何a,b∈S，恒有ab∈S。第4章多项式环与有限域证明若S是R的子环，则由环的定义可知，条件(1)、(2)显然成立。若条件(1)、(2)成立，则由定理2.4.2可知，S对环R中的加法运算构成可换子群，并且S关于R的乘法封闭。由于S是环中的子集，因此R中的乘法结合律，加法和乘法间的分配律在S中自然成立，由此可知S是一个环。第4章多项式环与有限域例4.1全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍数全体构成其中的一个子集，该子集就是整数环中的一个子环。如m=3，则所有3的倍数的全体集合{0，±3，±6，±9，…}构成一个子环。一个环至少有两个子环，一个是由0元素组成，一个是环R本身，称此两个子环为环R的假子环，其余的称为真子环。第4章多项式环与有限域二、理想理想是很重要的一类子环，它在环中的作用相当于正规子群在群中的作用。定义4.1.2设R是交换环，I是R的非空子集，若(1)对任意两个元素a,b∈I，恒有a-b∈I；(2)对任意a∈I，r∈R，恒有ar=ra∈I，则称I是R中的一个理想。第4章多项式环与有限域由此定义可知，理想其实就是可换环中的一个子环，该子环也称双边子环。由(1)可知I是一个阿贝尔加群由(2)可知I的某些元素都由某一元素a的倍数组成。因此，若理想中包含了元素a，则它就包含了a的一切倍元。由于I构成一个可换加群，所以可用它作为一个正规子群，把R中的元素进行分类划分陪集。第4章多项式环与有限域例4.2全体整数Z构成一个可换环，某一整数m的倍数构成一个理想Im，以此理想可把全体整数Z划分陪集。如m=5，则I5：{0，±5，±10，±15，…}，划分陪集如下：0:0，5，-5，10，-10，…1:1，6，-4，11，-9，…2:2，7，-3，12，-8，…3:3，8，-2，13，-7，…4:4，9，-1，14，-6，…第4章多项式环与有限域由正规子群的理论可知，这些陪集全体{0，1,2,3,4}构成一个模5的阿贝尔加群，称为模5的剩余类群，Z(mod5)表示；一般情况用R(modI)表示之。若R中任二元素a、b属于I的同一剩余类，则称a、b对模I同余，记为a≡b(modI)或a-b≡0(modI)第4章多项式环与有限域定理4.1.2设R是可换环，I为R的一个理想，于是R模I构成一个可换环，称它为环R以理想I为模的剩余类环M。(1)对任意a,b∈M，一定存在有元素a,b∈R，且a=a+I，b=b+I。所以a-b=a+I-(b+I)=a-b+(I-I)=c+I=c∈M由定理2.4.2可知M构成阿贝尔加群。第4章多项式环与有限域(2)乘法封闭性成立，交换律成立。对一切元素a，b∈M，恒有a·b=ab=ab+I∈Ma·b=ab=ba=b·a(3)结合律成立(a·b)·c=(ab)·c=(ab)c=a(bc)=a(bc)=a·(bc)由此可知M组成一可换环。第4章多项式环与有限域定义4.1.3在可换环R中，由一个元素a∈R所生I(a)={ra+na｜r∈R，n∈Z}称为环R的一个主理想，称元素a为该主理想的生成元。在例4.2中，以某一整数m的倍数所构成的理想Im就是一个主理想，m是生成元。如果R是一个有单位元素的无零因子可换环，且R中的每一理想都是主理想，则称该R为主理想环。例如，整数环Z就是一个主理想环。第4章多项式环与有限域§4.2多项式剩余类环一、多项式的基本性质定义4.2.1含有一个未定元数xFp(GF(p))上的多项式定义为f(x)=fnxn+fn-1xn-1+…+f1x+f0fi∈Fpi=0，1，2，…，nFp［x］(或GF(p)［x］)表示系数取自域Fp上的一切多项式集合。第4章多项式环与有限域多项式次数：称系数不为零的x的最高次数为多项式f(x)的次数，记为f(x)(f)或degf(x)(degf)。可知，若fn≠0，则f(x)=n，称f(x)为n次多项式。若fn=fn-1=…=fk-1=0，fk≠0,则f(x)=k，称f(x)为k次多项式。第4章多项式环与有限域首一多项式：最高次数的系数为1的多项式称为首一多项式。下面定义多项式之间的相等、相乘和相加规则。设f(x)=fnxn+fn-1xn-1+…+f1x+f0fi∈Fpg(x)=gnxn+gn-1xn-1+…+g1x+g0gi∈Fp若对所有fi=gii=0，1，2，…，nf(x)=g(x)。第4章多项式环与有限域多项式的相加运算为f(x)+g(x)=(fn+gn)xn+(fn-1+gn-1)xn-1+…+(f1+g1)x+(f0+g0)f(x)=fnxn+…+f1x+f0与g(x)=gmxm+…+g1x+g0的相乘运算为f(x)g(x)=hn+mxn+m+hn+m-1xn+m-1+…+h1x+h0第4章多项式环与有限域式中nmijjijijjijinmmmigfmnmigfh,,2,1,,,2,1,00第4章多项式环与有限域定理4.2.1按以上定义的多项式运算，Fp［x］构成一个具有单位元素、无零因子的可换环。证明(1)Fp［x］关于加法构成可换群。1°封闭性显然成立。2°零元为f(x)=0。3°f(x)=fnxn+fn-1xn-1+…+f1x+f0的逆元为-f(x)=-fnxn-fn-1xn-1-…-f1x-f0。第4章多项式环与有限域4°交换律和结合律显然成立。(2)乘法封闭性成立。乘法单位元是f(x)=1。(3)无零因子。设f(x)≠0，g(x)≠0，令fα、gβ分别是f(x)和g(x)的最高次数的系数，即fα≠0、gβ≠0。因此fαgβ≠0fαgβ∈Fp因为域Fp无零因子，而fαgβ是f(x)g(x)的最高次数项，且不为0，故f(x)g(x)≠0第4章多项式环与有限域定理4.2.2给定任意两个多项式f(x)g(x)∈Fp［x］，一定存在有唯一的多项式q(x)和r(x)使f(x)=q(x)g(x)+r(x)0≤r(x)＜g(x)或r(x)=0该定理的证明与定理2.1.2(欧几里德除法)的证明完全类似，这里不再重复。第4章多项式环与有限域二、既约多项式与Z环上的素数相对应，在Fp［x］上有既约多项式。定义4.2.2设f(x)是次数大于零的多项式，若除了常数和常数与本身的乘积以外，再不能被域Fp上的其它多项式除尽，则称f(x)为域Fp上的既约多项式。第4章多项式环与有限域由上述定义可得出：1°一个常数总是多项式的因子。例如，实数域上的多项式3x2+1=3(x2+1/3)，由此可知3是3x2+1多项式的一个因子。2°f(x)是否既约与讨论的域有很大关系。例如，f(x)=x2+1，在实数域上是既约的；但在复数域上就可以分解为f(x)=(x+i)(x-i)。第4章多项式环与有限域判别f(x)(f＞0)是否既约的方法是：f(x)既约的充要条件是f(x)不能再分解成两个次数低于f(x)的多项式的乘积。所以，不论在哪一域上，凡是一次首一多项式都是既约多项式。第4章多项式环与有限域定理4.2.3每一个首一多项式f(x)必可分解为首一既约多项式之积，并且当不考虑因式的顺序时，这种分解是唯一的，即式中，pi(x)为首一既约多项式，αi是某一正整数，i=1，2，…，s。ixpxpxpxfi)()()()(2121第4章多项式环与有限域推论4.2.1d次多项式f(x)不可能有多于d个的一次因式。定理4.2.4α为多项式f(x)之根的充要条件是：(x-α)｜f(x)证明由多项式的欧几里德除法可知f(x)=q(x)(x-α)+r(x)=q(x)(x-α)+rr(x)＜(x-α)若α是f(x)的根，则f(α)=q(α)(x-α)+r=0可知r=0，故f(x)=q(x)(x-α)(x-α)｜f(x)第4章多项式环与有限域反之，若(x-α)｜f(x)，则f(x)=q(x)(x-α)因为α-α=0，故α是x-α的根，由此f(α)=q(α)(α-α)=0α也是f(x)的根。第4章多项式环与有限域定理4.2.5d次多项式至多有d个根。证明假定d次多项式f(x)有多于d个根，则由定理4.2.3和定理4.2.4可知，f(x)应当有多于d个的一次因式，这与推论4.2.1相矛盾。定理4.2.6若p(x)是f(x)的k重既约因式，则p(x)必是f(x)的导数f’(x)的k-1重既约因式。第4章多项式环与有限域三、最大(高)公因式定义4.2.3若(f(x)，g(x)，…，k(x))是同时除尽多项式f(x)，g(x)，…，k(x)的次数最高的首一多项式，则称(f(x)，g(x)，…，k(x))是f(x)，g(x)，…，k(x)的最大公因式，用(f(x)，g(x)，…，k(x))或GCD{f(x)，g(x)，…，k(x)}表示之。第4章多项式环与有限域与整数的最大公约数相似，可用同样的方法证明多项式的最大公因式有如下性质：1°由欧几里德除法可知，若f(x)≥g(x)，则f(x)=g(x)q(x)+r(x)0≤r(x)q(x)或r(x)=0可得(f(x)，g(x))=(g(x)，r(x))。第4章多项式环与有限域2°由整数的欧几里德算法，同样有多项式的欧几里德算法：(f(x)，g(x))=A(x)f(x)+B(x)g(x)式中0≤A(x)＜g(x)-(f(x)，g(x))0≤B(x)＜f(x)-(f(x)，g(x))该算法将在以后详细证明。第4章多项式环与有限域四、最小(低)公倍式定义4.2.4若［f(x)，g(x)］是同时能被g(x)、f(x)除尽的次数最低的首一多项式，则称［f(x)，g(x)］是g(x)和f(x)的最小公倍式，用［f(x)，g(x)］或LCM{f(x)，g(x)}表示之。第4章多项式环与有限域与整数的最小公倍数完全相似，多项式的最小公倍式也有如下性质：1°f(x)，g(x)，k(x)多项式集合中，若两两互素，则［f(x)，g(x)，k(x)］=f(x)g(x)k(x)；2°f(x)，g(x)的最小公倍式［f(x)，g(x)］能除尽f(x)，g(x)的一切公倍式；3°f(x)g(x)=［f(x)，g(x)］(f(x)，g(x))。或))(),(()()()(),(xgxfxgxfxgxf第4章多项式环与有限域由上面的讨论可知，由于Fp上多项式全体与整数全体均构成一可换环，因此多项式的理论与整数的理论是完全平行的。多项式相当于一般的整数，既约多项式相当于素数，而常数(零次多项式)相当于整数中的1，它既不是既约多项式也不是可约多项式。多项式与整数的这种平行关系，在下面讨论中还将看到。第4章多项式环与有限域五、多项式剩余类环与有限域的构造如同整数的剩余类环一样，以一个Fp上的多项式：f(x)=f0+f1x+…+fnxnf(x)＞0为模的剩余类全体也构成一个环，称为多项式剩余类环。如同整数剩余类环的构造，我们首先在Fp［X］上寻找一个理想，然后以此理想为模对全体多项式分类，就得到一个剩余类环。理想的寻找第4章多项式环与有限域例子4.4P107第4章多项式环与有限域引理4.2.1Fp［x］上任一多项式f(x)的一切倍式集合If(x)组成一个理想。证明设f(x)=f0+f1x+…+fnxnf(x)＞0要证明f(x)的一切倍式集合If(x)是一理想，只要证明：(1)对一切a(x)，b(x)∈If(x)，有a(x)-b(x)∈If(x)。(2)对任意c(x)∈Fp［x］，a(x)∈If(x)有c(x)a(x)∈If(x)。第4章多项式环