初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第3讲-充满活力的韦达定理

1第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知、是方程012xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为。思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab的值为()A、22123B、22125或2C、22125D、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程0132mxx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x、2x的对称式，这类问题可通过变形用1x+2x、1x2x表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。【例3】已知关于x的方程：04)2(22mxmx(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。(2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x。思路点拨：对于(2)，先判定1x、2x的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m为何值时，2221xx有最小值?并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例5】已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程047)21(222mmxx的两个根。(1)当m＝2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且ABCD，求AB、CD的长．2思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知1x和2x为一元二次方程013222mxx的两个实根，并1x和2x满足不等式142121xxxx，则实数m取值范围是。(2)已知关于x的一元二次方程07)1(82mxmx有两个负数根，那么实数m的取值范围是。2、已知、是方程的两个实数根，则代数式2223的值为。3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程0462xx的两根，则△ABC的面积是。4、设1x、2x是关于x的方程02qpxx的两根，1x+1、2x+1是关于x的方程02pqxx的两根，则p、q的值分别等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程0772cxx的两根，那么AB边上的中线长是()A．23B．25C．5D．26、方程019972pxx恰有两个正整数根1x、2x，则)1)(1(21xxp的值是()A．1B．-lC．21D．217、若关于x的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211xxxxxx，判断4)(2ba是否正确?8、已知关于x的方程01)32(22kxkx。(1)当k是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x、2x满足：312xx，求k的值。9、已知方程02qpxx的两根均为正整数，且28qp，那么这个方程两根为。10、已知、是方程012xx的两个根，则34的值为。11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程01222mxx的两根，则m的取值范围是。12、两个质数a、b恰好是整系数方程的两个根，则baab的值是()A．9413B．1949413C．999413D．979413413、设方程有一个正根1x，一个负根2x，则以1x、2x为根的一元二次方程为()A．0232mxxB．0232mxxC．02412xmxD．02412xmx14、如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是()A．0≤m≤1B．m≥43C．143mD．43≤m≤115、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(ABBC)的长是关于x的方程的两个根。(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的31，请说明理由．16、设m是不小于1的实数，使得关于x的方程工033)2(222mmxmx有两个不相等的实数根1x、2x。(1)若62221xx，求m的值。（2）求22212111xmxxmx的最大值。17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程012)1(24122mxnx两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。18、设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和012axx和02cbxx有一个相同的实数根，并且使方程02axx和02bcxx也有一个相同的实数根，试求cba的值。5参考答案6