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第二章2.1判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。（1）x(n)=Acos(685ππ+n)（2）x(n)=)8(π−nej（3）x(n)=Asin(343ππ+n)解(1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n)，得出=ω85π。因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)5(16516取kk=。（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj+]n,得出81=ω。因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n)，又x(n)=Asin(343ππ+n)＝Acos(−2π343ππ−n)＝Acos(6143−nπ)，得出=ω43π。因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)3(838取kk=2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。(a)1111(b)(c)11111000000-1-1-1-1-1-1-1-122222233333444………nnnnnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)an===22解利用线性卷积公式y(n)=∑∞−∞=−kknhkx)()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。(a)y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2(b)x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)=δ(n-3)(c)y(n)=∑∞−∞=−−kknknukua)()(=∑∞−∞=−kkna=aan−−+111u(n)2.3计算线性线性卷积(1)y(n)=u(n)*u(n)(2)y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1)y(n)=∑∞−∞=−kknuku)()(=∑∞=−0)()(kknuku=(n+1),n≥0即y(n)=(n+1)u(n)(2)y(n)=∑∞−∞=−kkknuku)()(λ=∑∞=−0)()(kkknukuλ=λλ−−+111n,n≥0即y(n)=λλ−−+111nu(n)2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n),h1(n)=δ(n)-δ(n-4),h2(n)=anu(n),|a|1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞−∞=kku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞−∞=kkkua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞−=3nkka,n≥32.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an−u(-n),0a1用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。证明（1）交换律X(n)*y(n)=∑∞−∞=−kknykx)()(令k=n-t,所以t=n-k,又-∞k∞,所以-∞t∞,因此线性卷积公式变成`x(n)*y(n)=∑∞−∞=−−−ttnnytnx)]([)(=∑∞−∞=−ttytnx)()(=y(n)*x(n)交换律得证.(2)结合律[x(n)*y(n)]*z(n)=[∑∞−∞=−kknykx)()(]*z(n)=∑∞−∞=t[∑∞−∞=−kktykx)()(]z(n-t)=∑∞−∞=kx(k)∑∞−∞=ty(t-k)z(n-t)=∑∞−∞=kx(k)∑my(m)z(n-k-m)=∑∞−∞=kx(k)[y(n-k)*z(n-k)]=x(n)*[y(n)*z(n)]结合律得证.(3)加法分配律x(n)*[y(n)+z(n)]=∑∞−∞=kx(k)[y(n-k)+z(n-k)]=∑∞−∞=kx(k)y(n-k)+∑∞−∞=kx(k)z(n-k)=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)加法分配律得证.2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明(1)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x(n)sin[32πn+6π](3)y(n)=∑∞−∞=kkx)((4)y(n)=∑=nnkkx0)((5)y(n)=x(n)g(n)解（1）设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3≠y1(n)+y2(n)=2[x1(n)+x2(n)]+6故系统不是线性系统。由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而y(n-k)=T[x(n-k)]故该系统是非移变系统。设|x(n)|≤M，则有|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|∞故该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（2）设y1(n)=ax1(n)sin[32πn+6π]y2(n)=bx2(n)sin[32πn+6π]由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=[ax1(n)+bx2(n)]sin[32πn+6π]=ax1(n)sin[32πn+6π]+bx2(n)sin[32πn+6π]=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。由于y(n-k)=x(n-k)sin[32π(n-k)+6π]T[x(n-k)]=x(n-k)sin[32πn+6π]因而有T[x(n-k)]≠y(n-k)帮该系统是移变系统。设|x(n)|≤M，则有|y(n)|=|x(n)sin[32π(n-k)+6π]|=|x(n)||sin[32π(n-k)+6π]|≤M|sin[32π(n-k)+6π]|≤M故系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（3）设y1(n)=∑−∞=nkkx)(1，y2(n)=∑−∞=nkkx)(2，由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=∑−∞=+nkkk)](bx)(ax[21=a∑−∞=nkkx)(1+b∑−∞=nkkx)(2=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。因y(n-k)=∑−−∞=tnkkx)(=∑−∞=−nmtmx)(=T[x(n-t)]所以该系统是非移变系统。设x(n)=M∞y(n)=∑−∞=nkM=∞，所以该系统是不稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（4）设y1(n)=∑=nnkkx01)(，y2(n)=∑=nnkkx02)(，由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=∑=+nnkkk021)](bx)(ax[=a∑=nnkkx01)(+b∑=nnkkx02)(=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。因y(n-k)=∑−=tnnkkx0)(=∑+=−ntnmtmx0)(≠T[x(n-t)]=∑=−nnktmx0)(所以该系统是移变系统。设x(n)=M,则limn→∞y(n)=limn→∞(n-n0)M=∞,所以该系统不是稳定系统。显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若nn0。则该因果系统是非因果系统。(5)设y1(n)=x1(n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n)=ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n)故系统是线性系统。因y(n-k)=x(n-k),而T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k)所以系统是移变系统。设|x(n)|≤M∞,则有|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性（1）h(n)=2nu(-n)(4)h(n)=(12)nu(n)(2)h(n)=-anu(-n-1)(5)h(n)=1nu(n)(3)h(n)=δ(n+n0),n0≥0(6)h(n)=2nRnu(n)解（1）因为在n0时，h(n)=2n≠0,故该系统不是因果系统。因为S=n∞=−∞∑|h(n)|=0n∞=∑|2n|=1∞，故该系统是稳定系统。(2)因为在nO时，h(n)≠0，故该系统不是因果系统。因为S=n∞=−∞∑|h(n)|=1n−=−∞∑|an|=n∞=∞∑an−，故该系统只有在|a|1时才是稳定系统。(3)因为在nO时，h(n)≠0，故该系统不是因果系统。因为S=n∞=−∞∑|h(n)|=n∞=−∞∑|δ(n+n0)|=1∞，故该系统是稳定系统。(4)因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=n∞=−∞∑|h(n)|=0n∞=∑|(12)n|∞，故该系统是稳定系统。(5)因为在nO时，h(n)=1nu(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=n∞=−∞∑|h(n)|=n∞=−∞∑|1nu(n)|=0n∞=∑1n=∞，故该系统不是稳定系统。(6)因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=n∞=−∞∑|h(n)|=10Nn−=∑|2n|=2N-1∞，故该系统是稳定系统。2.9已知y(n)-2cosβy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin()sinnββ证明题给齐次差分方程的特征方程为α2-2cosβ·α+1=0由特征方程求得特征根α1=cosβ+jsinβ=ejβ,α2=cosβ-jsinβ=ejβ−齐次差分方程的通解为y(n)=c1α1n+c2α2n=c1ejnβ+c2ejnβ−代入初始条件得y(0)=c1+c2=0y(1)=c1ejnβ+c2ejnβ−=1由上两式得到c1=1jnjneeββ−−=12sinβ，c2=-c1=-12sinβ将c1和c2代入通解公式，最后得到y(n)=c1ejnβ+c2ejnβ−=12sinβ(ejnβ+ejnβ−)=sin()sinnββ2.10已知y(n)+2αy(n-1)+β(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解首先由初始条件求出方程中得系数a和b由(2)2(1)(0)660(3)2(2)(1)361230yaybyayaybyab++=+=⎧⎨++=++=⎩可求出a=-1,b=-8于是原方程为y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0由特征方程α2－2α－8＝0求得特征根α1＝4，α2＝-2齐次差分方程得通解为y(n)=c1α1n+c2α2n=c14n+c2(-2n)代入初始条件得y(n)=c1α1+c2α2=4α1+2α2=3由上二式得到c1＝12，c2＝－12将c1和c2代入通解公式，最后得到y(n)=c1α1n+c2α2n＝12[4n-(-2)n]2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程：y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1解由特征方程α2－α－1＝0求得特征根α1＝152+，α2＝152−通解为y(n)=c1α1n+c2α2n＝c1（152+）n＋c2（152−）n代入初始条件得121211515()()122cccc+=⎧⎪⎨+−+=⎪⎩求出c1=1525+，c2=1525−最后得到通解y(n)=c1(1525+)n+c2(1525−)n=15[(1525+)1n+-(1525−)1n+]2.12一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应解由图可知＋y(n)=x(n)+βy(n-1)为求单位取样响应，令x(n)=δ(n),于是有h(n)=δ(n)+βh(n-1)由此得到h(n)=()1nD