对数与对数运算(二)

对数与对数运算（二）星期四，快到成功的彼岸了，加油！一、什么是对数？新知初探思维启动1．对数(1)对数的概念①定义：如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数____叫做以____为底____的对数，记作___________.xaNx＝logaN对数运算•1阅读课本P64-66，完成优化P44•对数的运算公式2．对数的计算(1)对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋；②logaMN＝；③logaMn＝．(2)换底公式logab＝logcblogca(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)．logaNlogaM－logaNnlogaM(n∈R)想一想2.若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN(a0，且a≠1)成立吗？提示：不一定成立．做一做3.log318－log32的值为()A．log316B．log320C．log336D．2答案：D4．lg2＋lg5的值为________．答案：121做优化P46例3（1）例4（2）题型三对数运算性质的应用(本题满分12分)计算下列各式的值．(1)log2748＋log212－12log242；(2)12lg3249－43lg8＋lg245.例3【思路点拨】由题目可知(1)式中是以2为底的对数，(2)式中都是常用对数，同时两式中含有根号以及对数的加减运算，可利用对数运算性质进行计算．【解】(1)原式＝log27×1248×42＝log212＝－12.…6分2原式＝125lg2－2lg7－43×32lg2＋122lg7＋lg5名师微博这是关键步．＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.12分【名师点评】(1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．3．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－lg2＋1.变式训练解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.(2)原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋lg2－12＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2＋1－lg2＝1.题型四对数换底公式的应用计算下列各式的值：(1)(log43＋log83)log32；(2)12log52·log79log513·log734；(3)log22＋log279.例4【解】(1)原式＝1log34＋1log38log32＝12log32＋13log32log32＝12＋13＝56.(2)原式＝12·lg2lg5·lg9lg7lg13lg5·lg34lg7＝12·lg2lg5·2lg3lg7－lg3lg5·23lg2lg7＝－32.(3)原式＝log22log2212＋log332log333＝112＋23＝2＋23＝83.【名师点评】换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换成什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．4．计算下列各式的值：(1)log89·log2732；(2)log927；(3)log21125·log3132·log513.变式训练解：(1)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log927＝log327log39＝log333log332＝3log332log33＝32.(3)log21125·log3132·log513＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.1．求值：(1)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg23)2＋lg16＋lg0.06.备选例题解：(1)原式＝lg4＋lg3lg10＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.2．设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．解：由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.方法技巧1．logaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量．2．利用对数运算法则求值，一般有两种处理方法．一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种是它的逆运算．方法感悟失误防范1．并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log(－2)4＝2，只有在a0，且a≠1，N0时，才有ab＝N⇔b＝logaN.2．应用对数运算性质时应注意保证每个对数都有意义．要注意底数和真数的取值范围．例如，log5[(－5)×(－5)]是有意义的，但是不能用公式计算，否则会得到如下结果：log5[(－5)×(－5)]＝log5(－5)＋log5(－5)，即无意义了．3．注意不应将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆．loga(MN)≠(logaM)(logaN)；loga(M＋N)≠logaM＋logaN；logaMN≠logaMlogaN.知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放