彩虹中的微积分

微积分课project3Appliedproject4彩虹中的微积分小组成员：温裕祥，王轩，于晓阳报告人：2012.11一．问题重述当雨滴散射阳光时，彩虹就会出现。自古以来人类就被它吸引，并且自从亚里士多德时期开始，人类就已经尝试对彩虹的科学解释。本项目中，我们利用牛顿和笛卡尔的思想来解释彩虹的形状，位置和色彩。二．问题分析彩虹进入空气中的水滴后会进行一定角度的折射和反射，使观察者能够看到太阳光（白光）色散而成的其中颜色光。三．模型建立及求解过程1.如图所示，展示了光线在A点进入了一个球型雨滴，而直线AB表示光线进入雨滴部分的轨迹。注意到光线向着法线AO被折射，并且事实上，Snell定律告诉我们：sinα≈ksinβ，是入射角，是折射角，k≈4/3为水的折射率。在B点，一部分光线穿过雨滴并折射到空气中，但BC表示反射部分（入射角等于反射角）当光线到达C点，又有一部分被反射。但此时，我们更感兴趣的是在C点离开雨滴的部分(注意到它折射离开法线)。角度的偏转D(α)是光线在这三个过程中顺时针旋转的总和，即D（α）=（α-β）+（π-2β）+（α-β）=π+2α-4β证明：偏转角的最小值D(α)≈138°,并且在α=59.4°时发生最小偏转角的意义在于当α≈59.4°时，有D’（α）≈0，从而△D/△（α）≈0，许多光线偏转到了大致相同的角度，这是来自最小偏转角方向的光线的聚集，产生了明亮的主虹。从观察者到彩虹最高点提升的角度为180°-138°=42°（此角度被称为彩虹角）证明：ksinarcsin42)(Dkkcos)(sin-114-2)(D22’22sincos4-2k若0)(’D,则0cos)(sin-114-222kk34k带入，得4.59277cos222222222sinsincossin4sinsin4)(Dkkk’’由k1,得)(D''0由极值第二充分条件的，在4.59时取得极小值此时D(α)=138.0°,180°-138.0°=42°2.问题1解释了初级主彩虹的位置，那如何解释色彩呢？光包含一定范围的波长，从红到橙.黄.绿.青.蓝和紫。牛顿在1666年在他的棱镜实验中发现每种颜色的光的折射率是不一样的（这一效果称为色散）。红光折射率k≈1.3318而紫光折射率k≈1.3435.对这些k再计算问题1，证明彩虹角对红色弓是42.3°，对紫色弓是40.6°。所以彩虹确实含有七个弓对应七种颜色。由1中得，22sincos4-2Dk）（’若0)(’D,则31cos2k（1）红光：3318.1k，则5.59红，7.137)(D红，红色弓3.42（2）紫光：3435.1k，则8.58紫，4.139)(D紫，红色弓6.403.你或许还会看到主虹上方有一个弱一点的第二级彩虹。这一结果的得出是由于光线进入雨滴，在A点折射，两次反射（B点和C点），且在D点离开雨滴折射（如图）。现在偏转角H（α）是光线经过这四步逆时针旋转角的总和。证明D（α）=2α-6β+2π，且当cosα=时，D（α）有最小值。取k=4/3，偏转角的最小值约为129°，因而第二级彩虹角约为51°，如图。218k令角度的偏转为）（H22)(Hksinarcsin6-22则22sincos62)(kH’若0)(’H，则81cos2k34k,则8.71，.231D）（，偏转角129231-360，第二级彩虹角51129-1804.证明二级彩虹的色彩以相反的顺序出现在主虹上方。（一）第一级彩虹，入射角31arccos21k第二级彩虹，入射角81arccos22k由单调性，k相同时21所以，二级彩虹在主彩虹上方（二）以红光紫光为例，计算方法同2.主彩虹：7.137)(D红，4.139)(D紫二级彩虹：6.230)(H红，6.233)(H紫如图所示，两种情况下顺序是相反的:实线为主虹，虚线为第二级虹。即主彩虹顺序位置与k正相关二级彩虹顺序位置与k负相关注：上方彩图的几何画板原件详见附件。（已发邮箱）