初三数学换元法专练

1利用换元法解分式方程的四种常见类型一、直接换元例1解方程015)1(2)1(2xxxx.解：设yxx1，则原方程可化为01522yy.解得5,321yy.当3y时，31xx，解得43x；当5y时，51xx，解得45x.经检验，45,4321xx是原方程的根.二、配方换元例2解方程1)1(3)1(222xxxx.解：原方程配方，得05)1(3)1(22xxxx.设,1yxx则05322yy.解得25,121yy.当1y时，,11xx即012xx.因为0311412，所以方程012xx无实数根.当25y时，,251xx即02522xx.解得21,221xx.经检验，21,221xx是原方程的根.三、倒数换元例3解方程031)1(21122xxxx.解：设yxx112，则原方程可化为032yy.2去分母，整理，得0232yy，解得2,121yy.当1y时，1112xx，即02xx.解得1,021xx.当2y时，2112xx，即0122xx.解得21,2143xx.经检验，,1,021xx21,2143xx都是原方程的根.四、变形换元例4解方程12222422xxxx.解：原方程可变形为05222)22(222xxxx.设yxx222，则原方程可化为0522yy.去分母，整理，得02522yy.解得21,221yy.当2y时，2222xx，即022xx.解得21,021xx.当21y时，21222xx，即03242xx.因为044344)2(2，所以方程03242xx无实数根.经检验，21,021xx是原方程的根.例1解方程分析括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。3解设，于是原方程变形为解得例2解方程分析方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。解设，则原方程变形为例3解方程分析这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。解原方程为4例4解方程解设5练习：1.解方程2.解方程3.解方程6提示：1.设2.3.设。二次根式一、知识要点概述1、二次根式：式子叫做二次根式．2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．7(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）A．B．－C．D．－分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．8说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．9例6、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式．判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简10二次根式21.1二次根式：1.使式子4x有意义的条件是。2.当__________时，212xx有意义。3.若11mm有意义，则m的取值范围是。4.当__________x时，21x是二次根式。5.在实数范围内分解因式：429__________,222__________xxx。6.若242xx，则x的取值范围是。7.已知222xx，则x的取值范围是。8.化简：2211xxx的结果是。9.当15x时，215_____________xx。10.把1aa的根号外的因式移到根号内等于。11.使等式1111xxxx成立的条件是。12.若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。13.在式子230,2,12,20,3,1,2xxyyxxxxy中，二次根式有（）A.2个B.3个C.4个D.5个14.下列各式一定是二次根式的是（）A.7B.32mC.21aD.ab15.若23a，则2223aa等于（）A.52aB.12aC.25aD.21a16.若424Aa，则A（）A.24aB.22aC.222aD.224a1117.若1a，则31a化简后为（）A.11aaB.11aaC.11aaD.11aa18.能使等式22xxxx成立的x的取值范围是（）A.2xB.0xC.2xD.2x19.计算：222112aa的值是（）A.0B.42aC.24aD.24a或42a20.下面的推导中开始出错的步骤是（）222323121232312223233224A.1B.2C.3D.421.若2440xyyy，求xy的值。22.当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。1223.去掉下列各根式内的分母：21.303yxx512.11xxxx24.已知2310xx，求2212xx的值。25.已知,ab为实数，且1110abb，求20052006ab的值。21.2二次根式的乘除1.当0a，0b时，3__________ab。2.若22mn和3223mn都是最简二次根式，则_____,______mn。3.计算：23________;369__________。4.计算：483273_____________。5.长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为（精确到0.01）。136.下列各式不是最简二次根式的是（）A.21aB.21xC.24bD.0.1y7.已知0xy，化简二次根式2yxx的正确结果为（）A.yB.yC.yD.y8.对于所有实数,ab，下列等式总能成立的是（）A.2ababB.22ababC.22222ababD.2abab9.23和32的大小关系是（）A.2332B.2332C.2332D.不能确定10.对于二次根式29x，以下说法中不正确的是（）A.它是一个非负数B.它是一个无理数C.它是最简二次根式D.它的最小值为311.计算：1.23232.53xx33.540,0ababab364.0,0ababab2125.12133553236.32bababba1412.化简：351.0,0abab2.xyxy3213.aaa13.把根号外的因式移到根号内：11.5512.11xx21.3二次根式的加减1.下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A.24B.12C.32D.182.下面说法正确的是（）A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.8与80是同类二次根式C.2与150不是同类二次根式D.同类二次根式是根指数为2的根式3.与3ab不是同类二次根式的是（）A.2abB.baC.1abD.3ba4.下列根式中，是最简二次根式的是（）A.0.2bB.1212abC.22xyD.25ab155.若12x，则224421xxxx化简的结果是（）A.21xB.21xC.3D.-36.若2182102xxxx，则x的值等于（）A.4B.2C.2D.47.若3的整数部分为x，小数部分为y，则3xy的值是（）A.333B.3C.1D.38.下列式子中正确的是（）A.527B.22ababC.axbxabxD.68343229.在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是。10.若最简二次根式125aa与34ba是同类二次根式，则____,____ab。11.一个三角形的三边长分别为8,12,18cmcmcm，则它的周长是cm。12.若最简二次根式23412a与22613a是同类二次根式，则______a。13.已知32,32xy，则33_________xyxy。14.已知33x，则21________xx。15.200020013232______________。16.计算：⑴.11221231548333⑵.148542331316⑶.2743743351⑷.22221213121317.计算及化简：⑴.2211aaaa⑵.2ababababab⑶.xyyxyxxyxyyxyxxy⑷.2aabbabaabaabbabbab1718.已知：3232,3232xy，求32432232xxyxyxyxy的值。19.已知：1110aa，求221aa的值。20.已知：,xy为实数，且113yxx，化简：23816yyy。21.已知11039322yxxxyx，求的值。18答案：21.1二次根式：1.4x；2.122x；3.01mm且；4.任意实数；5.22333;2xxxx；6.0x；7.2x；8.1x；9.4；10.a；11.1x；12.-1；13——20：CCCABCDB21.4；22.12a，最小值为1；23.32361.,2.1xyxxxxx；24.5；25.-221.2二次根式的乘除：1.bab；2.1、2；3.18；4.-5；5.2.83；6——10：DDCAB11.22221.6,2.15,3.20,4.,5.1,6.xababbabab；12.21,2.,3.0ababxy；13.1.5,2.1x21.3二次根式的加减：1——8：BAACCCCC9.8,18；10.1、1；11.5223；12.1；1