时滞微分方程

1众所周知,微分方程的振动理论是微分方程理论的一个重要分支,在稳定性研究领域里面,振动性的研究是一个非常活跃的方向。近几十年来,在微分方程各个领域理论的发展的同时,无论是对线性到非线性时滞微分方程的研究,还是对一阶到n阶以及到无穷阶时滞微分方程的讨论,都取得了巨大的进展。研究的方向也是广泛开阔的,如函微分方程、差分微分方程、分数阶微分方程等等。时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要，并且也是非常有意义的．至今已经有很多学者在这方面取得了很好的研究成果，[1．30】中有很多的介绍．’对时滞微分方程的稳定性理论的研究的转折点可以追溯到1892年，这一年俄国数学力学专家Lyapunov发表了一篇名为“运动稳定性的一般问题的论文，该论文给出了研究稳定性的一种很有效的方法．这种方法后来被称为Lyapunov直接法，也称为Lyapunov第二方法，它至今仍是研究时滞微分方程解的稳定性的主要方法．这种方法可以在没有得到方程具体解的情况下，就确定方程解的稳定性．Lyapunov直接法的关键是构造Lyapunov泛函．目前许多学者在研究时滞微分方程解的稳定性时，都是通过构造Lyapunov泛函的方法，并得到了很多很好的研究结果，如[31．50]．但是，如何构造合适、有效的Lyapunov泛函来研究解的稳定性，仍然是一个很有吸引力和挑战性的课题．2在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的．时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性质(大惯性环节)因数也会导致滞后、物质或信号的传递(传输过程)亦需要一定的时间，缓慢的化学反应过程等都会使系统产生时滞．时滞的存在对系统的控制无论在理论方面还是在工程实践方面都造成了很大的困难．通常情况下时滞将使系统的性能变坏，甚至使系统失去稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定性分析和控制器的设计带来了很大的困难．因此，对时滞微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义．开展这方面的研究，一方面将丰富和发展时滞微分方程的理论，另一方面也为一些问题的实际应用提供了必要的理论基础．目前，关于时滞微分方程的研究成果也很多．稳定性理论是时滞微分方程理论中的重要部分．在稳定性理论发展进程中最伟大的事件乃是俄国数学力学专家李雅普诺夫在1892年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题，从而建立了稳定性理沦研究的框架．稳定性理论和方法不断地在发展，尤其是20世纪30年代以来，由于科学技术的日新月异，特别是自动控制、空间技术、大系统理论、生物数学等的出现，使稳定性理论发展更快，新的课题、方法不断涌现．50．60年代初期，数学家们围绕李雅普诺夫第二方法中的李雅普诺夫函数的结构，建立了一致稳定、等度渐近稳定、指数渐近稳定等各种稳定性概念，丰富了稳定性理论的研究内容．随着时间的推移，众多学者为稳定性理论的研究奠定了雄厚的基础，使其形成了一套比较完善的理论．例jtN[171、『191等都涉及到了稳定性方面的研究．至今，研究时滞微分方程解的稳定性的有效方法，仍是Lyapunov直接法(即Lyapunov第二方法)．其主要优点在于，不需要预先知道解的情况，就可确定其解的稳定性．在过去的四十多年里，已有很多学者利用构造Lyapunov泛函的方法，研究了时滞微分方程解的稳定性，得到了许多不错的结果．但是，如何构造合适、有效的Lyapunov泛函?这是一个难题，没有学者给出一个明确的方法．这样的难题在高阶常微分方程中一样存在，例如【17】．显然，对于高阶时滞微分方程构造Lyapunov泛函将是更加地困难．从上世纪五、六十年代到本世纪初掀起了研究微分系统稳定性及有界性的热潮，并有许多研究成果．在微分系统稳定性及有界性研究成果得出的过程中，巴尔巴辛公式功不可没．自从巴尔巴辛给出了刀阶线性微分系统y函数构造的公式以后，许多学者通过“类比法构造y函数研究了大量二至五阶非线性微分系统的稳定性和有界性．常微分方程是在人类生产实践中产生的．历史上，它的雏形的出现甚至比微积分还要早，伽利略研究自由落体运动，纳泊尔发明对数，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等．在十九世纪早期，柯西给微积分注入了严格性的要素，同时也为微分方程的理论奠定了基石．Sturm的工作提出了对解进行定性研究的最初思想．Poincare的著名论文“微分方程所定义的曲线”和Liapunov的博士论文“运动稳定性的一般问题”共同奠定了定性理论的研究基础．微分方程的过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物等各种技术科学(核能、火箭、人造卫星、自动控制、无线电子技术等)及若干社会科学(如入口问题、经济预测、运输调度问题等)提供有用的工具．早先研究都假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的历史无关．但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的的状态．在这种情况下，微分方程就不能精确地描述客观事物了，代之而起的就是微分差分方程特别是时滞微分方程．现实世界中大量的自然现象可以用常微分方程来描述，用常微分方程来描述事物的现象是出于事物的发展的趋向只与当前的状态有关，而不明显地依赖过去的状态，然而在我们所研究的各种自然现象中，客观事物的变化发展规律是复杂多样的，诸多情形不仅需要考虑事物的当前的状态，而且需要考虑事物过去的历史，也就是说，当前的现状和过去的历史同时对事物的发展起作用．严格地说，在动力学系统中时滞通常是不可避免的，即使以非常快的速度(例如光速)传递的信息也不例外，从这个意义上来说，常微分方程只是动力系统的一种近似描述．如果略去滞量并不改变系统的解的性态，这时，用常微分方程去描述动力系统已够精确，而不必顾及系统中的时滞因素，如果略去滞量便达不到必要的精度，甚至导致错误，或者不考虑滞量便无法建立所需的数学模型，则需要另寻办法建立一系列新的概念和方法去直接研究系统的解的种种性态．所以，用来描述自然现象的更为合理的模型应该是与事物过去的历史即时滞有一定的关联的．因此，用时滞微分方程来刻画事物的变化发展规律更能精确地描述事物的本质．近几十年来，对时滞微分方程的动力学行为的研究引起了人们极大的兴趣1771年，Condorcet在讨论1750年由Euler提出的一个古典几何学问题时，导出了历史上第一个泛函微分方程，此后一个世纪中，许多著名的数学家，如Bernoulli，Laplace，Poisson以及Babbege等都提出过类似的方程，鉴于这类方程的复杂性，一直作为历史数学悬案搁置下来，上世纪七十年代以来，随着类似甚至更为复杂的这类方程在生物学、物理学、控制理论和工程系统中不断涌现，这才促使人们对此类方程的研究自然科学与社会科学中的许多学科提出了大量的时滞动力学问题．如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学，动物与植物的循环系统及各种社会科学问题如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等，各种工程系统中出现时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统的时滞动力学系统数目更为庞大．这些学科的发展迫切需要时滞动力学的理论基础．{ρ(x)𝜔𝑡𝑡(𝑥，𝑡)+(EI(x)ωxx(x，t))xx=0，0𝑥1，t0，ω(0，t)=ωx(0，t)=ωxx(1，t)=0，t0，(EI(x)ωxx)x(1，t)=u(t)，t0，y(t)=ωt(1，t)，ω(x，0)=ω0(x)，ωt(x，0)=ω1(x)，0𝑥1.（ω时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要。至今已经有很多学者在这方面取得了很好的研究成果，z(x,t)=ω_t(1,t-xτ){ρ(x)𝜔𝑡𝑡(𝑥，𝑡)+(EI(x)ωxx(x，t))xx=0，0𝑥1，t0，ω(0，t)=ωx(0，t)=ωxx(1，t)=0，t0，(EI(x)ωxx)x(1，t)=u(t)，t0，τzt(x,t)+zx(x,t)=0，0𝑥1，t≥0，z(0，t)=wt(1，t)，t≥0，ω(x，0)=ω0(x)，ωt(x，0)=ω1(x)，0𝑥1，z(x，0)=z0(x)，0𝑥1，y(t)=z(1，t)，t≥τ.tτ目前，关于时滞微分方程的研究成果也很多．.10),()(ˆ)0,(,10),()(ˆ)0,(,0),,1()),1()((,0,0),1(),0(),0(,0,10,0)),()((),()(11001xxxxxxxxtssksxEItsssstsxsxxEIsxxssxxxxxxxxxssttsttxttxtxttxttsttsxEItstststtstxtsxxEItsxxssxxxxxxxxxxss,),,(),,(),,(),,(,,,0),,1())((),,1(),,0(),,0(,,,10,0)),,()((),,()(其中)(x代表密度，)(xEI代表抗弯刚度。0txxttxtxztxzt),,1(),(),(0tttytttztxzxztxtxztxztuttxtqtxtxtxtxxtxxxxtt),,0()(,0),,0(),0(,0),()0,(,0,10,0),(),(),(),1(,0,10),,0(),(,0,10),,(),(0),0(),(xttxz,0),,0()(,0,10),(),1(,0,10),,0(),(,0,10),,(),(tttytxtuttxtqtxtxtxtxxxxxtt),(txz),(ˆ)0,(ˆ),(ˆ)0,(ˆ,0,10)],,0(),0(ˆ[)(),1(ˆ,0,10),,0(ˆ),(ˆ,0,10),,(ˆ),(ˆ101xxxxtsxssksustsxsqsxtsxsxsxsxxxxss.10),()(ˆ)0,(),()(ˆ)0,(,0,10),,0(),1(,0,10),,0(),(,0,10),,(),(11001xxxxxxxtsxskstsxsqsxtsxsxsxsxxxxss),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ),(),,1(ˆ,,10),,,0(ˆ),,(ˆ,,,10),,,(ˆ),,(ˆtxttxtxttxsutststxtsqtsxttstxtsxtsxssxxxxss),(),,(),,(),,(,0),,1(),,,0(),,(,,,10),,,(),,(txttxtxttxttstsqtsxttstxtsxtsxssxxxxss10),()0,(),()0,(,10)],,,1(),1([),1(,),,0(),0(,,10),,(),(102xxxxxtxtttktttqttxtxtxtxxxxxxtt