6-1定积分的元素、定积分在几何上应用

第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用上册P272回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.abxyo)(xfy第一节定积分的元素法面积表示为定积分的步骤如下:（2）计算iA的近似值(),iiiAfx（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfAn（i1）把区间],[ba分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为;iAix1,,iiixx（近似替代）（分割）若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(提示（4）求极限，得A的精确值badxxf)(iinixfA)(lim10abxyo)(xfyxdxx面积元素dA,dAfxdx面积元素dxxfA)(lim.)(badxxf当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；那么就可以用定积分来表达这个量U.通常元素法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(元素3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得这个方法通常叫做元素法(也称微元法)．应用：求平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长.、功、引力等．微元法的实质是什么？微元法的实质仍是“和式”的极限.badxxfU)(即为所求量U的积分表达式.第二节定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积二、旋转体的体积四、小结1.直角坐标系情形2.极坐标系情形三、平行截面面积为已知的立体的体积曲边梯形的面积badxxfA)(badxxfxfA)]()([12一、平面图形的面积xyo)(xfyabxxx)(1xfy)(2xfyabxxx1.直角坐标系情形面积元素：(),fxdAdx21[()()].dAfxfxdx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素:dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx22yxxy例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(xdxxxxdA)6(231],3,0[)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy63于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(32300343342220334334xxxxxx注意:各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？x25312166334(也可以选y)例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解：两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA24242AdAxy224xy42242yydy18423211426yyy例4.3yx求由曲线与x=-1,x=2及x轴所围成的平面图形的面积.解：由上述公式得231Axdx023310xdxxdx02441044xx11617.4443,dAxdx0xy-123yx例5求椭圆12222byax的面积.解：椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA04204sin(sin)btatdtdttab202sin4.absin,dxatdt1422ab0xX+dxab当a=b时，即为圆的面积公式：2AaP253公式曲边梯形的曲边为参数方程：)()(tytx曲边梯形的面积:.)()(21ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.21sin1cos22tt或者用公式：（1）极坐标系的定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系称之.在平面上取定一点O，称为极点.从O出发引一条射线Ox，称为极轴.再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正.2.极坐标系情形,Pxo极点极轴极径极角极坐标平面上的点M和极坐标P（ρ，θ）之间当限制ρ≥0，0≤θ＜2π或时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意.一一对应关系ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角.这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定.有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标,记为P（ρ，θ）.5,4Mox823234,493,8平面上的点M和极坐标P（ρ，θ）一一对应.由定义可知：一点的极径ρ表示点到极点的距离，是个非负的值，有时为了研究问题的需要，极径还ρ可取负值。3,333MMM如，点关于极点的中心对称点的极坐标，来表示，3,3与表示同一点.o3,3M33M，3,3或33xcossinxy,,MMxy，X0yxy222tanxyyxox极坐标与直角坐标的关系(2）极坐标和直角坐标互化把直角坐标中的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴。与直角坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系。cossinxy222tanxyyxox,,,.Mxy点直角坐标为极坐标为，关系为：P284—习题6-2（练习和思考-作业）2.求由下列各组曲线围成的图形的面积2112yx22和x+y=812yyxx和及x=2oxy1yxyx0xy31xxyeyex和及0xy11xyexye4lnlnln,yxyayby和及轴.0xylnyxlnyalnyba2a)(xy6.求由摆线)sin(ttax)cos1(tay02t的一拱与横轴所围成的图形的面积.布置作业P284习题6-22.(1)（3）；6.