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...高中数学专题训练导数的应用——极值与最值一、选择题1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0答案D解析y′＝3ax2＋2bx，据题意，0、13是方程3ax2＋2bx＝0的两根∴－2b3a＝13，∴a＋2b＝0.2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2C．－ln2D．ln2答案B解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0∵2x＞0，∴x＝－1ln23．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则()A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜12答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1综上，b的范围为0＜b＜14．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)0，则下列结论中正确的是()A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x－1时，f′(x)0x－1时，f′(x)0∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．...5．函数y＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．－173B．－103C．－4D．－643答案A解析y′＝x2＋2x－3.令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．当x∈[0,1]时，y′0.当x∈[1,2]时，y′0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x＝1时，ymin＝－173.6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象，如右图所示，则()A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单增答案C解析由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，选C.7．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定答案A解析由题意可得f′(x)＝32x2－2x－72.由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝73.当x－1时，f(x)为增函数；当－1x73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．8．函数f(x)＝e－x·x，则()A．仅有极小值12e...B．仅有极大值12eC．有极小值0，极大值12eD．以上皆不正确答案B解析f′(x)＝－e－x·x＋12x·e－x＝e－x(－x＋12x)＝e－x·1－2x2x.令f′(x)＝0，得x＝12.当x12时，f′(x)0；当x12时，f′(x)0.∴x＝12时取极大值，f(12)＝1e·12＝12e.二、填空题9．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.答案－23－16解析y′＝ax＋2bx＋1.由已知a＋2b＋1＝0a2＋4b＋1＝0，解得a＝－23b＝－1610．已知函数f(x)＝13x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________答案0c43解析∵f(x)＝13x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．若f(x)＝0有3个实根，则f0＝c0f2＝13×23－22＋c0，，解得0c43...11．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是________．答案m－12解析因为函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m1，即m－12.12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案0解析f′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，联立方程组，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝13，经检验知x＝1是函数的极小值点，∴f(x)极小值＝f(1)＝0.三、解答题13．设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．解析由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋2sin(x＋π4)．令f′(x)＝0，从而sin(x＋π4)＝－22，得x＝π，或x＝3π2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，π)π(π，3π2)3π2(3π2，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增π＋2单调递减32π单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f(3π2)＝3π2，极大值为f(π)＝π＋2.14．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．...解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9；(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)0，所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．15．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数．(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,0)上是增函数，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝ax3－3x2，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，∴a＝2.(2)解法一①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间(－1,0)上是增函数，∴a＝0符合题意；②当a≠0时，f′(x)＝3ax(x－2a)，令f′(x)＝0得：x1＝0，x2＝2a.当a0时，对任意x∈(－1,0)，f′(x)0，∴a0符合题意；当a0时，当x∈(2a，0)时，f′(x)0，∴2a≤－1，∴－2≤a0符合题意；综上所述，a≥－2.解法二f′(x)＝3ax2－6x≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax－6≤0，∴a≥2x在区间(－1,0)上恒成立，又2x2－1＝－2，∴a≥－2.16．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解析(1)f′(x)＝－2x＋a－1x，∵f(x)在(0，12)上为减函数，∴x∈(0，12)时－2x＋a－1x0恒成立，即a2x＋1x恒成立．设g(x)＝2x＋1x，则g′(x)＝2－1x2.∵x∈(0，12)时1x24，∴g′(x)0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)g(12)＝3，∴a≤3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．故a应满足Δ0a20⇒a2－80a0⇒a22，∴当a22时，f′(x)＝0有两个不等的实数根，不妨设x1x2，由f′(x)＝－1x(2x2－ax＋1)＝－2x(x－x1)(x－x2)知，0xx1时f′(x)0，...x1xx2时f′(x)0，xx2时f′(x)0，∴当a22时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．1.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a12)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________．答案1解析∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1，当x∈(0,2)时，f′(x)＝1x－a，令f′(x)＝0得x＝1a，又a12，∴01a2.令f′(x)0，则x1a，∴f(x)在(0，1a)上递增；令f′(x)0，则x1a，∴f(x)在(1a，2)上递减，∴f(x)max＝f(1a)＝ln1a－a·1a＝－1，∴ln1a＝0，得a＝1.2．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．解(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0.解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，所以9＋8cc2，解得c－1或c9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．3．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．解析(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋3)(x－2－3)．当x∈(－∞，2－3)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－3)上单调增加；当x∈(2－3，2＋3)时f′(x)＜0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调减少；当x∈(2＋3，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调增加．...综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意知，2＜a－a2－1＜3，①或2＜a＋a2－1＜3.②①式无解．②式的解为54＜a＜53.因此a的取值范围是(54，53)．1．“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1，(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值．(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．解析(1)解：f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝6x＋1－2x＋2＝8－2x2