经济学专业数学不定积分的换元积分法与分部积分法配套课件

2020年4月16日星期四1复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如2sin2d;xx21d;xx这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……2020年4月16日星期四2第三节换元积分法与分部积分法第四章一、换元积分法二、分部积分法三、小结与思考题2020年4月16日星期四3设,)()(ufuF可导,CxF)]([)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有基本思路2020年4月16日星期四4一、第一类换元积分法定理1,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式()d()()xfx()dufu)(xu(也称配元法,凑微分法)2020年4月16日星期四5例1求sin(25)dxx.解设25ux，则sin(25)dxx1sin(25)(25)d2xxx1sin(25)d(25)2xx1sind2uu1cos2uC1cos(25)2xC2020年4月16日星期四6例2求1d32xx.设32ux，则d2dux，解即1dd2xu.所以1d32xx121()d2uu121()22uC32xC2020年4月16日星期四7例3求5232dxxx.解设32ux，则5232dxxx13351(2)(2)'d3xxx151d3uu651536uC6355(2)18xC2020年4月16日星期四8例4求答案：1sinCx例5求deexxx例6求1d(12ln)xxx答案：1ln|12ln|2xC例7求tandxx答案:lncosxC例8求35cossindxxx答案：4681111coscoscos438xxxC或68211sinsin.68xxC2020年4月16日星期四9例9求221dxax.答案：1arctanxCaa例10求221dxxa,(0)a.答案：1ln||.2xaCaxa例11求2cosdxx.答案：1sin224xxC答案：例12求cscdxx.答案：ln|csccot|xxC例13求secdxx.ln|sectan|xxC自学课本例142020年4月16日星期四10xbxafd)()1(xxxfnnd)()2(1xxxfnd1)()3(万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xxxfdsin)(cos)5(常用的几种配元形式:2020年4月16日星期四11xxxfdsec)(tan)6(2xeefxxd)()7(xxxfd1)(ln)8((10)2(cot)cscd(cot)dcotfxxxfxx(9)21(arctan)d(arctan)darctan1fxxfxxx；2020年4月16日星期四12二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求uufd)(若所求积分易求,则用第二类换元积分法.难求，uufd)(2020年4月16日星期四13CxF)()()]([)(ttft是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt证:的原函数为设)()]([ttf令则)(xFtddxtdd)()]([ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)]([1Ct][)(1xt)(1d)()]([xttttf则有换元公式定理2设2020年4月16日星期四14.)0(d22axxa解:令则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca2axtaxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例14求2020年4月16日星期四15解:令则22222tanataaxtasecttaxdsecd2∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttaxtln)ln(1aCCxa1C例15求2020年4月16日星期四16解:,时当ax令则22222secataaxtatanxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt22axt1lnC)ln(1aCC22axaxa例16求2020年4月16日星期四17,时当ax令,au则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC2020年4月16日星期四1822(1)ax或22(2)ax22(3)xa从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换可作代换2020年4月16日星期四19例17求222d()xxa,(0)a.解设tanxat，则2dsecdxatt，于是222d()xxa2422secd(tan1)attat231cosdtta311(sin2)24ttCa311(sincos)22tttCa32221arctan22()xxCaaaxa2020年4月16日星期四20常用基本积分公式的补充2020年4月16日星期四212020年4月16日星期四22新知识引入(Introduction)前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”。但是，对于形如ed;xxxlnd;xxxsind;xxx的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，2020年4月16日星期四23vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：2020年4月16日星期四24第四章（IntegrationbyParts）例18求解:令sin,vx则cosvx∴原式(cos)xx(cos)dxxcossinxxxC另解:令,vx则22xv∴原式2sin2xx2cosd2xxx三、分部积分法例19求cosdxxx答案sincosxxxC2020年4月16日星期四25解1(31)d(cos3)3xx1(31)cos3cos3d3xxxx11(31)cos3sin333xxxC原式例21求2edxxx.例20求(31)sin3dxxx.解2dexx2edxxx2e2edxxxxx2e2dexxxx2e2e2exxxxxC.2020年4月16日星期四26.dlnxxx解:令xv则221xv原式=xxln212xxd21Cxxx2241ln21例22求2020年4月16日星期四27例23求arcsindxx.解arcsindxxarcsindarcsinxxxx2arcsind1xxxxx2211arcsind(1)21xxxx2arcsin1xxxC2020年4月16日星期四28.darctanxxx解:令xv则221xv∴原式xxarctan212xxxd12122xxarctan212xxd)111(212xxarctan212Cxx)arctan(21例24求2020年4月16日星期四29.dsinxxex解:令xev,则xev∴原式xexsinxxexdcos再令xev,则xevxexsinxxexexxdsincos故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例25求自学课本例26、282020年4月16日星期四30解:令则,2txttxd2d原式tettd2tet(2Cxex)1(2)teC令例26求2020年4月16日星期四31把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:令1v,则xv原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx21反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）2020年4月16日星期四32解:令xv2cos1,则xvtan原式=xxcoslntanxxdtan2xxcoslntanxxd)1(sec2xxcoslntanCxxtan例6（补充题）求2020年4月16日星期四33本节小结2.分部积分公式xvuvuxvuddduvvu(1)使用原则:易求出,易积分(2)使用经验:“反对幂指三”,前u后(3)题目类型:分部化简;循环解出;递推公式1.换元积分法2020年4月16日星期四34课后练习习题4-32单数;3单数思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(222214)4(dxxxxxd4)4(2224d)5(xxxxd4412xx212124d)6(xxx2)2(4x)2(dx2020年4月16日星期四352.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2020年4月16日星期四36xxxd11)132)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2122221)21d(xxxx52)1(2x)1d(x2212xxCx21arcsin53.求下列积分:2020年4月16日星期四374.下述运算错在哪里?应如何改正?,1dsincosdsincosxxxxxx得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.2020年4月16日星期四38求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得5.