等差数列的前n项和及其性质教案

高二数学基础复习14、等差数列及其性质5、等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝na1＋an2Sn＝na1＋nn－12d(2)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d整理成关于n的函数可得Sn＝d2n2＋a1－d2n.[基础自测]1．判断正误(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．()(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．()(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．()[解析](1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝()A．－20B．－40C．－60D．－80D[由等差数列前n项和公式，S10＝10×1＋12×10×9×(－2)＝－80.]3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.[解析]S17＝12×17×(2＋8)＝85.[答案]854．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.[解析]S8＝8×1＋12×8×7×d＝64，解得d＝2.[答案]25．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：选A设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，则d＝－2，高二数学基础复习24、等差数列及其性质所以{an}前6项的和S6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.6．在等差数列{an}中，an0，a7＝12a4＋4，Sn为数列{an}的前n项和，则S19＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a7＝12a4＋4，得a1＋6d＝12(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，因此S19＝19a1＋a192＝19×a10＝19×8＝152.答案：1527．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝()A．36B．72C．144D．288解析：选B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，∴d＝32，∴S9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，∴S9＝9a1＋a92＝72.8．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是()A．20B．36C．24D．72解析：选C由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，得4a1＋4d＝4，6a1＋12d＝12，解得a1＝0，d＝1，∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.9．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×6－12d＝6×6－30＝6.答案：6题型一与Sn有关的基本量的运算例1已知等差数列{an}中，(1)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n和a12；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；(3)a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.[解](1)因为Sn＝n·32＋nn－12·－12＝－15，高二数学基础复习34、等差数列及其性质整理得n2－7n－60＝0.解得n＝12或n＝－5(舍去)．所以a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(2)由Sn＝na1＋an2＝n1－5122＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.(3)由a3＋a5＝2a4＝0，得a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2.故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.[规律方法]等差数列中基本量计算的两个技巧：(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝na1＋an2结合使用.[跟踪训练]1．等差数列中：(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)an＝8n＋2，d＝5，求S20；(3)d＝13，n＝37，Sn＝629，求a1及an.[解](1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，∴Sn＝na1＋an2＝128×105＋9942＝70336.(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝5，∴S20＝20a1＋20×20－12×5＝20×10＋10×19×5＝1150.(3)将d＝13，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，得an＝a1＋12，37·a1＋an2＝629，解得a1＝11，an＝23.题型二等差数列前n项和的性质例2在等差数列{an}中.(1)a4＝2，求S7；(2)S5＝3，S10＝7，求S15；高二数学基础复习44、等差数列及其性质(3)S10＝100，S100＝10，求S110.[思路探究](1)利用a1＋a7＝2a4；(2)根据S5，S10－S5，S15－S10成等差数列求S15；(3)根据所给条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d可得S110，也可利用S20－S10，S30－S20，…，S110－S100成等差数列求解．[解](1)S7＝12×7×(a1＋a7)＝12×7×2a4＝7a4＝7×2＝14.(2)数列S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即3,7－3，S15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S15－7，解得S15＝12.(3)法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知得10a1＋10×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10，②①×10－②，整理得d＝－1150，代入①，得a1＝1099100.所以S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝1101099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.法二：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10＋10×92×D＝S100＝10⇒D＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.所以S110＝－120＋S100＝－110.[规律方法]巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质.若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.Sn＝na1＋an2＝nam＋an－m＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶S奇＝an＋1an.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶S奇＝nn＋1.[跟踪训练]3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．高二数学基础复习54、等差数列及其性质[解]a5b5＝2a52b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.题型三等差数列前n项和的最值[探究问题]1．(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，求Sn的最小值；(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，求Sn的最小值．[提示](1)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，Sn的最小值为－4.(2)Sn＝n2－3n＝n－322－94，因为n∈N＋，所以当n＝2或n＝1时，Sn的最小值为S2＝S1＝－2.2．(1)在等差数列{an}中，若a5＞0，a6＜0，则其前多少项的和最大？(2)在等差数列{an}中，若a5＜0，a6＝0，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．[提示](1)前5项的和S5最大．(2)因为a5＜0，a6＝0，故其公差d＞0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5＝S6.3．在等差数列{an}中，若d＜0，S10＝0，则其前多少项的和最大？[提示]S10＝12×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝0，故a1＋a10＝a5＋a6＝0，因为d＜0，所以a5＞0，a6＜0，所以S5最大．例3在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．[解](1)由题意得a1＋9d＝18，5a1＋5×42×d＝－15，得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.(2)法一：Sn＝na1＋an2＝12(3n2－21n)＝32n－722－1478，∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.法二：设Sn最小，则an≤0，an＋1≥0，即3n－12≤0，3n＋1－12≥0，解得3≤n≤4，又n∈N＋，∴当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18.母题探究：1.(变条件)把例4中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．高二数学基础复习64、等差数列及其性质[解]S5＝12×5×(a1＋a5)＝12×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n.设Sn最大，则an≥0，an＋1≤0，解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.母题探究：2.(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n.[解]法一：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x＝72，所以当x＝0或x＝7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.法二：因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝12×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.[跟踪训练]1．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋nn－12×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a10，a3＋a100，a6a70，则满足Sn0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．13解析：选C因为a10，a6a70，所以a60，a70，等差数列的公差小于