多元函数全微分

8.3全微分),(),(yxfyxxfxyxfx),(),(),(yxfyyxfyyxfy),(二元函数对x和对y的偏微分二元函数对x和对y的偏改变量由一元函数微分学中改变量与微分的关系:.)()()(dxxfdyxfxxfy得如果函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，并设),(yyxxP为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量改变量yx,的全改变量（全增量），记为z全改变量的概念即z=),(),(yxfyyxxf0x0yxyyxyxyxxyyxyyxxyxfyyxxfzyxxyyxfzyx000000000000))((),(),(),(.),(,,的改变量为矩形面积在点则面积为例如：设矩形边长000000),(,),(xyxfyyxfyx线性主要部分))()((22yxo8.3.1全微分的定义可表示为的全改变量在点如果函数),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz)(oyBxAz,,,,有关而仅与不依赖于其中yxyxBA即记为,dzyBxAdzyx),(00oxyxy),(),(,),(),(0000yxyxfzyBxAyxyxfz在点称为函数可微分在点则称函数.全微分22)()(yx函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.y=f(x)在某点处：可导可微连续z=f(x,y)在某点处：可偏导可微分连续连续如果函数),(yxfz在点),(00yx可微分,则函数在该点连续.证：事实上),(oyBxAz,0),(),(limlim0000000yxfyyxxfzyx即),(lim0000yyxxfyx),(00yxf故函数),(yxfz在点),(00yx处连续.1定理22yx.0,0,0,0)(limlim00yxoyBxAz8.3.2全微分存在的必要条件和充分条件yyxfxyxfdzyxfyxfyxfzyxyxfzyxyxyx),(),(),(),,(),(,),(20000),(00000000存在，且的两个偏导数则函数）可微分，在点（：如果函数定理),(),((0000yxfByxfAoyBxAzyx，）即可微分定义中证：如果函数),(yxfz在点),(00yxP可微分,P的某个邻域总成立,220000),(),(),(yxoyBxAyxfyyxxfz当0y时，上式仍成立，此时||x,),(),(0000yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim00000),,(00yxfAx同理可得).,(00yxfByy=f(x)在某点处：可导可微z=f(x,y)在某点处：可偏导可微分例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处有0)0,0()0,0(yxff])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx则2222)()()()(yxyxyxyx),(])0,0()0,0([oyfxfzyx函数在点)0,0(处不可微.当0时，上式极限不存在，说明它不能随着0而趋于0。说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证：),(),(0000yxfyyxxfz)],(),([0000yyxfyyxxf)],(),([0000yxfyyxf.),(,),(),(),,(),(30000可微分在点则函数连续在点的偏导数：如果函数定理yxfyxyxfyxfyxfzyx在两个方括号内，应用拉格朗日中值定理),(),(0000yyxfyyxxfxyyxxfx),(010)10(1xxyxfx100),(（依偏导数的连续性）且当0,0yx时，01.同理),(),(0000yxfyyxf,),(200yyyxfy),(),(lim000000yxfyyxxfxxyx100010),(),(yxfyyxxfxx且当0,0yx时，02.（无穷小）xxyxfx100),(yyyxfy200),(z212121yxyx,00故函数),(yxfz在点),(00yx处可微22yx.0,0,0yx全微分记为注：习惯上记,,dyydxxyyxfxyxfdzyx),(),(上的全微分记为在区域上可微，函数在区域则称函数）都可微，上每一点（在定义域如果函数DfDfyxDyxfz,),(dyyxfdxyxfdzyxyx),(),(0000),(00.dyyzdxxzdz或.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元函数:.),,,(dzzudyyudxxuduzyxfu通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于n元函数的情况:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun212121),,,(例1计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.222dyedxedz所求全微分例2求函数)2cos(yxyz，当4x，y，4dx，dy时的全微分.解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82例3计算函数yzeyxu2sin的全微分.解,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例4试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0((1)连续;(2)偏导数存在;(3)偏导数在点)0,0(不连续;(4)f在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论.证则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx0),0,0(f故函数在点)0,0(连续,)0,0(xfxfxfx)0,0()0,(lim0,000lim0xx同理.0)0,0(yf0211sin0,0,2222yxyxxyyxxy(1)(2)当)0,0(),(yx时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy当点),(yxP沿直线xy趋于)0,0(时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,||21cos||22||21sinlim330xxxxxx不存在.(3)所以),(yxfx在)0,0(不连续.同理可证),(yxfy在)0,0(不连续.)0,0(),(fyxff22)()(1sinyxyx))()((22yxo故),(yxf在点)0,0(可微.0)0,0(df(4)多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导8.3.3全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式连续，且个偏导数的两在点当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx,),(),,(),(),(00.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx也可写成).)(,())(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx),(),(0000yxfyyxxfzyyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(0000000000,yyyxxx令.cm,4cm,20cm,1.0值求容器外壳体积的近似半径为内内高为外壳厚度均为容器，容器的例：有一无盖的圆柱形解：设圆柱形容器的半径为r,高为h，hrV2外壳体积可看作容器体积V在r=4,h=20时，.1.0分近似计算时的全增量，可用全微hr连续，2,2rhVrhrVhrrrhhhVrrVdVV22)cm(6.171.041.0204232则圆锥体的体积为例4.)99.1()02.2(322的近似值计算.01.002.0)2,2(),()99.1()02.2(,),(:322322时的函数值、处、自变量有增量在点函数可看作则设解yxyxfyxyxf,0)(32),(,)(32),(223222'3222'上处处连续在yxyxyyxfyxxyxfyx,31)2,2(,31)(32)2,2(')2,2(3222'yxfyxxf)01.0()2,2(02.0)2,2()2,2()99.1,02.2(''yxffff0033.201.03102.0312.0033.2)99.1()02.2(322即例5计算02.2)04.1(的近似值.解.),(yxyxf设函数.02.0,04.0,2,1yxyx取,1)2,1(f,),(1yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得02.0004.021)04.1(02.2.08.1).)(,())(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）小结函数),(yxfz在点),(00yx处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点),(00yx处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy在点),(00yx的某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx),(),(，当0)()(22yx时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx,当0)()(22yx时是无穷小量.思考题练习题一、填空题:1、设xyez,则xz_____________；yz____________；dz____________.2、若)ln(222zyxu,则du_____________________________.3、若函数xyz,当1,2yx,2.0,1.0yx时,函数的全增量z_______;全微分dz________.4、若函数yxxyz,则xz对的偏增量zx___________;xzxx0lim______________.二、求函数)1ln(22yxz当,1x2y时的全微分.三、计算33)97.1()02.1(的近似值.四、设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为cm1.